Question

(Fuvest) Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g
funções reais definidas por f(x) = x² - 2|x| + 1 e g(x) =
mx + 2m.

c) Determinar, em função de m, o número de raízes
da equação f(x) = g(x).
uma explicacao detalhada e facil de compreender se possivel

Answer 1

Vamos ter noção do que é a função f(x). Ela é definida por duas sentenças:

     $\mathsf{f(x)=x^2-2|x|+1 = \left\{\begin{matrix}&#\mathtt{x^2-2x+1\ \ se\ \ x \geq 0}\\\ &#\\ &#\mathtt{x^2+2x+1\ \ se\ \ x\ \textless \ 0}&#\end{matrix}\right.}$

     $= \left\{\begin{matrix}&#\mathtt{(x-1)^2\ \ se\ \ x \geq 0}\\\ &#\\ &#\mathtt{(x+1)^2\ \ se\ \ x\ \textless \ 0}&#\end{matrix}\right.$


Observe que as duas equações das sentenças são semelhante, porém um tem raiz única igual a 1, e a outra tem raiz única −1.

*(Imagine que o primeiro anexo está aqui representando o gráfico de f(x)).*


Obs: na forma fatorada é possível reconhecer as raízes facilmente pois são os números que zeram o que está dentro do parênteses.


Agora vamos analisar a função g(x):

     $\mathsf{g(x)=mx+2m}$

     $\mathsf{g(x)=m\cdot (x+2)}$

Obs: perceba que −2 é uma raiz pois independente do valor de m, o que está dentro do parênteses vai zerar e g(x) será igual a zero.


*(Imagine que o segundo anexo está aqui representando o gráfico de as variações de f(x) = g(x) conforme o valor de m).*


  •   Para m = 0 a equação possui duas raízes, −1 e 1;


Existe um caso em que há três raízes para a equação f(x) = g(x), nesse caso f(x) e g(x) passam por dois pontos e um ponto em que a coordenada x é nula.

     $\mathsf{x^2-2|x|+1=m\cdot (x+2)}$

     $\mathsf{1=2m}$

     $\mathsf{m=\dfrac{1}{2}}$


  •   Para m = 1 / 2 a equação possui três raízes;


Agora, apenas observando o gráfico, podemos perceber que:

  •   Para 0 < m < 1 / 2 a equação possui quatro raízes;

  •   Para m > 1 / 2 a equação possui duas raízes;


Bons estudos! :-)