Question

50. (Uerj) Observe a figura 1 que representa um leitor
de audio na posição de início de leitura. Os suportes
circulares A e B têm 1cm de raio e uma fita de 90m
está totalmente enrolada em A formando uma coroa
circular de espessura 1,5cm. A leitura da fita é feita
pela peça C a uma velocidade constante. À medida
que a fita passa, nos suportes A e B, formam-se duas
coroas circulares com raios maiores x e y,
respectivamente, como sugere a figura a seguir

a) Esboce o gráfico que mostra o comprimento da fita
enrolada em A, função do tempo de leitura.
b) Calcule y em função de x

Answer 1

a)  Seja  v > 0  a velocidade com que a fita passa pelo ponto  C  para ser lida.  Como a velocidade é constante, o comprimento da fita enrolada em  A  é uma função de 1º grau do tempo de leitura.

     •  t = tempo de leitura.


Quando  t = 0,  o comprimento inicial de fita enrolada em  A  é  L₀ = 90 m.

Temos a seguir a lei do comprimento (L) de fita enrolada em  A  versus  tempo de leitura  (t):

     L = L₀ − vt

     L = 90 − vt     (metros)


Para encontrar para qual instante toda a fita estará desenrolada de  A, basta calcularmos a equação

     L = 0

     90 − vt = 0

     90 = vt

     t = 90/v


Esse é o intervalo de tempo que demora para toda a fita se desenrolar de  A  e enrolar-se  em  B.


O gráfico de  L  versus  t  é um segmento de reta decrescente que liga os pontos  (0, 90)  e  (90/v,  0).  Veja a figura em anexo.

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b)  Perceba que da figura  1  para figura  2,  a área total visível de fita enrolada nos dois suportes circulares é constante.

     •  Área da coroa circular:  $\mathsf{A=\pi\cdot (R^2-r^2)}$

        (R = raio externo;  r = raio interno)


Considerando as figuras  1  e  2  do enunciado, devemos ter

     $\mathsf{A_1=A_x+A_y}\\\\ \mathsf{\pi\cdot (2,\!5^2-1^2)=\pi\cdot (x^2-1^2)+\pi\cdot (y^2-1^2)}\\\\ \mathsf{\pi\cdot (6,\!25-1)=\pi\cdot (x^2-1)+\pi\cdot (y^2-1)}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! \pi\cdot 5,\!25=\diagup\!\!\!\! \pi\cdot \big[(x^2-1)+(y^2-1)\big]}\\\\ \mathsf{5,\!25=x^2-1+y^2-1}\\\\ \mathsf{5,\!25=x^2+y^2-2}\\\\ \mathsf{5,\!25+2=x^2+y^2}\\\\ \mathsf{7,\!25=x^2+y^2}$


Isole  y  em função de  x:

     $\mathsf{y^2=7,\!25-x^2}\\\\ \mathsf{y=\sqrt{7,\!25-x^2}}$

com  x  e  y  dados em centímetros.


Note que  x  varia de  1 cm  até  1 + 1,5 = 2,5 cm.  Logo, a lei que descreve  y  em função de  x  (ambos em centímetros)  é:

     $\mathsf{y=\sqrt{7,\!25-x^2}\qquad com~~1\le x\le2,\!5.}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

se x e y são o raio então o raio é uma constante também então -x+3.5=y