Question

Obtenha o raio e o centro das circunferências a seguir.
c)
${x}^{2} + {y}^{2} - 4x - 8y + 16 = 0$
d)
${x}^{2} + {y}^{2} + 12x - 4y - 9 = 0$

Answer 1

Forma reduzida:

(x - xc)² + (y - yc)² = r²

Sendo assim temos

x² - 2.x.xc + xc² + y² - 2.y.yc + yc² = r²

x² - 2.x.xc + xc² + y² - 2.y.yc + yc² - r² = 0

Bom, sabendo disso, vamos lá.

a)

x² + y² - 4x - 8y + 16 = 0

Bom, completando alguns quadrados sabemos que vamos obter os seguintes produtos notáveis

(x - 2)² e (y - 4)² sendo assim, vamos resolve-los

x² - 4x + 4 e y² - 8y + 16

Sendo assim, vamos voltar para a fórmula que tínhamos

x² + y² - 4x - 8y + 16 = 0

Então, a fórmula reduziu + 4 + 16 a somente, + 16, para onde foi o +4? Simples, há o -r² que não estava lá

4 + 16 - r² = 16
4 + 16 - 16 = r²
r² = 4
r = 2

Raio 2

O centro é só pegar o inverso dos produtos notáveis que obtivemos

(x - 2)² e (y - 4)²

Centro = (2, 4)

d)

Fazendo o mesmo que fizemos no item anterior vamos ter

(x + 6)² e (y - 2)²

Resolvendo os produtos notáveis temos:

x² + 12x + 36 e y² - 4y + 4

Novamente, vamos analisar que:

36 + 4 não é o -9 que aparece lá na fórmula, então por que? Simples, -r² novamente.

36 + 4 - r² = -9
36 + 4 + 9 = r²
49 = r²
r = 7

Agora para pegar o centro é só fazer o mesmo, o oposto dos produtos notáveis

(x - 2)² e (y - 4)²

Centro = (2, 4)