Question

O valor de
lim(x→3) = (x²+ 2x -15)/(√(3x-6) - √x)

2√3
4√3
6√3
8√3

Answer 1

$\boxed{\boxed{\lim_{n \to 3} \frac{x^2+2x-15}{ \sqrt{3x-6}- \sqrt{x} }= \frac{0}{0} }}$

fatorando a equação do numerador $(x^2 +2x-15)$
A= 1
B = 2
C = -15
escrevendo ela na forma fatorada seria
$A*(x-r')*(x-r'')$

r' e r'' são as raízes
quando vc substitui x por 3..o resultado da 0
então 3 é uma raíz dessa equação
r' = 3
a soma das raízes é igual a -B/A
$r'+r'' = \frac{-B}{A}\\\\r'+3= \frac{-2}{1} \\\\r' = -2-3\\\\ \boxed{r' = -5 }$

as raízes dessa equação são 3 e -5
vc poderia ter usado bhaskara tambem pra achar as raízes ou qualquer outro metodo ;)

escrevendo a funçao na forma fatorada 
$A(x-r')*(x-r'') = 1*(x-3)*(x-(-5))= \boxed{\boxed{(x-3)*(x+5)}}$

temos a expressão 
$\frac{(x-3)*(x+5)}{( \sqrt{3x-6}- \sqrt{x} ) }$

multiplicando em cima e em baixo pelo conjulgado do denominador
para tentar retirar a indeterminaçao do denominador

conjugado de (A-B) = (A+B)
 ficaria assim
$\boxed{\boxed{\frac{(x-3)*(x+5)*( \sqrt{3x-6}+ \sqrt{x} )}{( \sqrt{3x-6}- \sqrt{x} )*( \sqrt{3x-6}+ \sqrt{x} ) }}}$

quando vc multiplica pelo conjugado vc sempre tem uma diferença dos quadrados
porque
$\boxed{(A-B)*(A+B)}=A^2+AB-BA-B^2= \boxed{A^2-B^2}$

então essa multiplicaçao do denominador ficaria
$( \sqrt{3x-6}- \sqrt{x} )*( \sqrt{3x-6}+ \sqrt{x} ) \\\\ = ( \sqrt{3x-6})^2- (\sqrt{x} )^2\\\\=(3x-6) - (x)\\\\=2x-6 =2*(x-3)$

temos a expressão

$\frac{(x-3)*(x+5)*( \sqrt{3x-6}+ \sqrt{x} )}{2(x-3) }= \boxed{\boxed{ \frac{(x+5)*( \sqrt{3x-6}+ \sqrt{x} )}{2} }}$

agora ja podemos tentar calcular o limite
$\lim_{x \to 3} \frac{(x+5)*( \sqrt{3x-6}+ \sqrt{x} )}{2}= \frac{(3+5)*( \sqrt{3*3-6)}+ \sqrt{3}) }{2}= \frac{8*( \sqrt{3}+ \sqrt{3}) }{2} = \frac{8*\not2 \sqrt{3} }{\not2}$

resposta
$\boxed{\boxed{\lim_{n \to 3} \frac{x^2+2x-15}{ \sqrt{3x-6}- \sqrt{x} }= 8 \sqrt{3} }}$