Question

considere f e f’, funções reais de variável real, deriváveis, onde f(1) = f’ (1) = 1. Qual o valor da derivada função h (x)= √(f(1+sen2x)) para x= 0?

a) -1
b) -1/2
c) 0
d) -1/3
e) 1

Answer 1

$h(x) = \sqrt{f(1+sen(2x)} =\boxed{f(1+sen(2x)) ^{ \frac{1}{2} }}}$

derivando
$(u^{ \frac{1}{2} })'\\\\ = \frac{1}{2}*u^{ \frac{1}{2} -1} * u'\\\\= \frac{1}{2}*u^{ \frac{-1}{2} }*u' \\\\\ =\frac{1}{2 u^{ \frac{1}{2} }}*u' \\\\= \boxed{\frac{1}{2 \sqrt{u} }*u' }$

ou seja ..a derivada da raíz quadrada de u
sempre vai ser 1 sobre o dobro da raiz quadrada de u
multiplicado pela derivada de u
aplicando isso
$u = f(1+sen(2x))$

derivando isso
lembrando que
$sen(v) = cos(v) * v'$

a derivada de u fica
$u' = f'(1+sen(2x)) * cos(2x) * 2$

temos
$\boxed{h'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{f(1+sen(2x))} } * f'(1+sen(2x)) * cos(2x) * 2}}$

para x =0
$h'(0) = \frac{1}{2 \sqrt{f(1+sen(2*0))} } * f'(1+sen(2*0)) * cos(2*0) * \\\\\\ h'(0) = \frac{1}{2 \sqrt{f(1+sen(0))} } * f'(1+sen(0)) * cos(0) * 2\\\\\\ h'(0) = \frac{1}{2 \sqrt{f(1)} } * f'(1) * 1 * 2$

como f(1) = f'(1) = 1

$h'(0) = \frac{1}{2 \sqrt{1} } * 1 * 1 * 2\\\\h'(0) = \frac{1}{2} * 2\\\\h'(0) = 1$