Question

Considerando-se os algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7 é correto afirmar que é possivel formar:
2401 números naturais pares de 4 algarismos
49 números naturais impares de 2 algarismos
210 números naturais dde 3 algarismos distintos
16.870 números naturais de 5 algarismos
- resolução pleaase

Answer 1

a) 2401 números naturais paras de 4 algarismos

temos 7 algarismos e 3 são pares 

7 . 7 . 7 . 3 = 1029
está falsa são 1029 números 

b) 49 números naturais ímpares de 2 algarismos

ímpares temos 4 algarismos no total de 7

7 . 4 = 28
está falsa são 28 números

c) 210 números naturais de 3 algarismos distintos
sendo distintos não pode-se repetir algarismos

7 . 6 . 5 = 210
está correta são 210 números

d) 16870 números naturais de 5 algarismos 

7.7.7.7.7 = 16807

Answer 2

Olá :3

Vamos analisar cada item:

"2401 números naturais pares de 4 algarismos"


Dispomos de um conjunto com 7 números, dos quais, 4 são ímpares (1, 3, 5 e 7) e 3 são pares (2, 4 e 6). Para que um número seja par, basta que o algarismo das unidades seja par, portanto, sabendo que um mesmo número pode conter algarismos repetidos, podemos dizer quê:

Dispomos de 7 números para ocupar a posição das unidades de milhares, logo, há 7 possibilidades;
Dispomos também de 7 números para a posição das centenas, pois a repetição de algarismos é permitida, logo, há 7 possibilidades;
Para a posição das dezenas, dispomos também de 7 algarismos, logo, há 7 possibilidades;
E, por fim, para a posição das unidades, dispomos somente de 3 algarismos, uma vez que todos os números a serem formados, precisam ser pares, ou seja, somente os números 2, 4 e 6 poderão ocupar essa posição, logo, há 3 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo, podem ser formados $7\cdot7\cdot7\cdot3=1029$ números pares de quatro algarismos com o conjunto dado.

Portanto, a primeira afirmação é falsa.

"49 números naturais impares de 2 algarismos"


Já para um número ser ímpar, o algarismo da unidade precisar sem um número ímpar. De maneira similar ao que foi feito anteriormente:

Para ocupar a casa das dezenas, dispomos de 7 algarismos, logo, há 7 possibilidades;
Para ocupar a casa das unidades, dispomos de apenas 4 algarismos, que são os ímpares (1, 3, 5 e 7), já que o número precisa ser ímpar, logo há 4 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo, podem ser formados $7\cdot4=28$ números ímpares de dois algarismos com o conjunto dado.

Portanto, a segunda afirmativa também é falsa. 

"210 números naturais de 3 algarismos distintos"


Dessa vez, a única restrição apresentada, é que os números devem apresentar algarismos distintos. Assim,

Para ocupar a posição das centenas, dispomos de 7 algarismos, logo, há 7 possibilidades;
Para ocupar a posição das dezenas, temos somente 6 algarismos, pois um já foi utilizado anteriormente, e o número precisa apresentar algarismos distintos, logo, há 6 possibilidades;
E, para ocupar a posição das unidades, temos 5 algarismos que podem ser usados, pois dois já foram utilizados, logo, há 5 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo, podem ser formados $7\cdot6\cdot5=210$ números de três algarismos distintos com o conjunto dado. 

Portanto, a terceira afirmação é verdadeira! \o/

"16.870 números naturais de 5 algarismos"

E, por fim, nesse último item, não temos nenhuma restrição. Devemos formar um número com 5 algarismos, não necessariamente distintos, então:

Para ocupar a casa das dezenas de milhares, dispomos de 7 algarismos, logo há 7 possibilidades.
.
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.
Para ocupar a casa das unidades, também dispomos de 7 algarismos pois o número não precisa apresentar algarismos distintos.

Pelo princípio multiplicativo, podem ser formados $7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7=7^5=16807$ números de cinco algarismos com o conjunto dado.

Portanto, a última afirmação também é falsa.



Assim, concluímos que é correto afirmar, que podem ser formados 210 números naturais de 3 algarismos distintos.


Dúvidas? Comente.

Bons estudos! ;-)