Question

Resolva a equação: (2m)!/2^m.m!.1.3.5.7.(2m+1)=1/9 .Alguém pra me ajudar?!

Answer 1

Vamos lá .

Temos a fração :

$\frac{(2m)!}{ 2^{m}.m!.1.3.5.7...(2m+1) } = \frac{1}{9}$

Vamos pensar na multiplicação M = 1.3.5.7...(2m+1) :

M = 1.3.5.7...(2m+1) = produto dos ímpares de 1 a 2m+1

Podemos escrever de outra forma também , como o produto de todos os inteiros de 1 a 2m+1 , retirando os multiplos de 2 :

$M = \frac{1.2.3.4.5.6...2m.(2m+1)}{2.4.6...2m}$

$M = \frac{(2m+1)!}{(2.1)(2.2)(2.3)...(2.m)}$

$M = \frac{(2m+1)!}{(2.2.2.2...)1.2.3.4...m}$


$M = \frac{(2m+1)!}{ 2^{m}.m! }$

Voltando à fração inicial : 

$\frac{(2m)!}{ 2^{m}.m!.M} = \frac{(2m)!}{ 2^{m}.m!. \frac{(2m+1)!}{ 2^{m}.m! } }$ 

= $\frac{(2m)!}{(2m+1)!}$

= $\frac{(2m)!}{(2m)!.(2m+1)}$

= $\frac{1}{2m+1}$

Como a fração inicial corresponde a $\frac{1}{9}$ :

$\frac{1}{2m+1} = \frac{1}{9}$

$2m+1 = 9$

$2m = 8$

$m = 4$

Espero ter ajudado , abs .