Question

Sabendo que log a=2 e log b= -1, calcule o valor de:

a) Log de a na base raiz de b

Answer 1

Olá

Podemos calcular o valor numérico da cada incógnita separadamente para substituí-los no valor da expressão que buscamos

Logo, temos as expressões para definir cada incógnita

$\log a = 2\\\\\\ \log b = -1$

Como não nos é apresentado uma base, deduzimos que esta seja 10

Logo, temos

$\log_{10} a = 2\\\\\\ \log_{10} b = -1$

Usando a identidade

$\log_x y = z~|~ x^z = y$

Temos que

$a=10^2\\ b=10^{-1}$

Então substituímos na expressão do enunciado

$\log_{\sqrt[2]{10^{-1}}} 10^2$

Podemos reescrever a base como uma potência de base 10

Transformando a raiz em um expoente

$\log_{(10^{-1})^{\frac{1}{2}}} 10^2$

Aplique a propriedade de potência de potência para simplificar a base

$\log_{10^{-1\cdot\frac{1}{2}}} 10^2$

Multiplique os valores

$\log_{10^{\frac{-1}{2}}} 10^2$

Então aplique a identidade logarítmica para argumento e bases iguais, encontrando a razão dos expoentes nesta respectiva ordem

$\dfrac{2}{\dfrac{-1}{2}}$

Simplifique a fração complexa, multiplicando o denominador da fração inferior pelo denominador da superior

$\dfrac{2\cdot 2}{-1}$

Simplifique a multiplicação

$\dfrac{4}{-1}$

Simplifique o denominador negativo, transformando o numerador em negativo

$-4$

Logo esta é a resposta
$\boxed{\log_{\sqrt[2]{b}} a =-4}$