Question

Seja a função f(x) = x3 + 2x2 + kx + 9. Os valores de k e 9 para que 1 + i seja raiz da função f(x) são, respectivamente, (A) 10 e -6. (B) 2 e 0. (C) 1 e 1. (D) 0 e 1. (E) -6 e 8.

Answer 1

Podemos utilizar a relação de Girard para equações do 3º grau.

As relações envolvem as raízes da função e seus coeficientes. Sendo uma equação do 3º grau da forma a0x³ + a1x² + a2x + a3:
$r_1 + r_2 + r_3 = - \dfrac{a_1}{a_0} \\ \\ r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \dfrac{a_2}{a_0} \\ \\ r_1 * r_2 * r_3 = - \dfrac{a_3}{a_0}$

Como temos que 1+i é um número complexo e vem em pares, a outra raiz é 1-i. Portanto, temos os coeficientes e duas raízes, basta achar a terceira utilizando a primeira relação:
$r_1 + r_2 + r_3 = - \dfrac{a_1}{a_0} \\ \\ (1+i) + (1-i) + r_3 = - \dfrac{2}{1} \\ \\ 2 + r_3 = - 2 \\ r_3 = -4$

Portanto, a função pode ser escrita desta forma:
$f(x) = (x-1-i)(x-1+i)(x+4) \\ f(x) = (x^2 -x +ix -x +1 -i-ix+i-i^2)(x+4) \\ f(x) = (x^2 -2x +2)(x+4) \\ f(x) = x^3 +4x^2-2x^2-8x+2x+8 \\ f(x) = x^3+2x^2-6x+8$

Comparando com a equação dada, temos que k = -6 e θ = 8.

Resposta: Letra E