Question

Sejam a circunferência X: x2 + y2 - 2y + k = 0 e a reta r: 3x + 4y - 19 = 0. Para que r seja tangente a X, k deve valer (A) -10 (B) -8. (C) 0. (D) 8. (E) 10.

Answer 1

Para que uma reta seja tangente a uma circunferência, a distância da reta até o centro da circunferência deve ser igual ao raio da circunferência.

Com a equação da circunferência fornecida, podemos determinar o raio e o centro.

x² + y² - 2y + k = 0

x² + (y - 1)² -1 + k = 0

x² + (y - 1)² = 1 - k

Desse modo, o centro é C (0, 1) e o raio é √1 - k.

Agora, utilizamos a equação que determina a distância entre a reta tangente e o centro da circunferência:

d = | ax + by + c| / √a²+b²

Onde a, b e c são os coeficientes da reta.

Substituindo os valores, temos:

√1 - k = |3*0 + 4*1 - 19| / √3² + 4²

√1 - k = | -15 | / √25

√1 - k = 15 / 5

√1 - k = 3

1 - k = 9

k = -8

Portanto, para que a reta R seja tangente a circunferência X, o valor de k deve ser -8.


Alternativa correta: B.