Question

Dividindo o polinômio P(x) = 5x3 + 3x2 + 2x - 4 pelo poli- nômio D(x), obtém-se o quociente Q(x) = 5x + 18 e o resto R(x) = 51x - 22. O valor de D (2) é: (A) -11 (B) -3. (C) -1. (D) 3. (E) 11.

Answer 1

Olá.

 

O enunciado nos deu os valores para todos os elementos dessa divisão. Montando uma divisão convencional, com as informações que nos foi dada, teremos:

 

$\Large\begin{array}{rcc} \textsf{P(x)}&\mathsf{\underline{|~~~D(x)~~~}}\\ \textsf{R(x)}&\textsf{Q(x)} \end{array}\huge\begin{array}{c}\rightarrow\end{array} \Large\begin{array}{rcc} \mathsf{5x^3+3x^2+2x-4}&\mathsf{\underline{|~~~D(x)~~~}}\\ \mathsf{51x-22}&\mathsf{5x+18} \end{array} \\\\\\\\ \Large\begin{array}{l}\mathsf{P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)}\\\\ \mathsf{\left(5x^3+3x^2+2x-4\right)=D(x)\cdot\left(5x+18\right)+\left(51x-22\right)} \end{array}$

 

Para chegar no resultado final, temos de conseguir isolar um valor para D(x). Para isso, farei algumas manipulações algébricas, levando o resto para o 1° membro. Teremos:

 

$\mathsf{P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)}\\\\ \mathsf{\left(5x^3+3x^2+2x-4\right)=D(x)\cdot\left(5x+18\right)+\left(51x-22\right)}\\\\ \mathsf{\left(5x^3+3x^2+2x-4\right)-\left(51x-22\right)=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{5x^3+3x^2+2x-4-51x+22=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{5x^3+3x^2+2x-51x-4+22=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{5x^3+3x^2-49x+18=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}$

 

O meio mais viável que encontrei para continuar o desenvolvimento foi manipular o primeiro membro, buscando o fatorar. As manipulações serão, basicamente, a adição de valores nulos (ou seja, que no final resulta em 0) para que seja possível colocar valores em evidência.

 

Os valores nulos serão:

 

(15x² - 15x²) e (5x – 5x)

 

Calculando, já resolvendo, teremos:

 

$\mathsf{5x^3+3x^2-49x+18=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{5x^3+3x^2+\left(15x^2-15x^2\right)-49x+\left(5x-5x\right)+18=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{5x^3+18x^2-15x^2-54x+5x+18=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{5x^3-15x^2+5x+18x^2-54x+18=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{5x\cdot\left(x^2-3x+1\right)+18\cdot\left(x^2-3+1\right)=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}\\\\ \mathsf{\left(5x+18\right)\left(x^2-3x+1\right)=D(x)\cdot\left(5x+18\right)}$

 

Usando o princípio de multiplicidade, podemos igualar D(x) pelo trinômio que está a multiplicar o mesmo binômio que ele multiplica, ou seja:

 

D(x) = x² - 3x + 1

 

Para descobrir o valor do polinômio D(x) para x = 2, basta fazer uma simples substituição. Teremos:

 

$\mathsf{D(x)=x^2-3x+1}\\\\ \mathsf{D(2)=(2)^2-3(2)+1}\\\\ \mathsf{D(2)=4-6+1}\\\\ \mathsf{D(2)=5-6}\\\\ \boxed{\mathsf{D(2)=-1}}$

 

Com base nisso, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa C.

 

   **  Obs.: no celular, deslize para os lados para ver os cálculos de forma completa.

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$