Question

Determinando m, de modo que as raízes da equação x2 - mx + m + m2 = 0 sejam o seno e o co-seno do mesmo ângulo, os possíveis valores desse ângulo no 1.° ciclo trigonométrico são:

Answer 1

Vamos resolver esta equação em m:
$x^2-mx+m+m^2=0$
$\Delta=m^2-4.1.(m+m^2)=-4m-3m^2 \\ x=\frac{m \pm \sqrt{-4m-3m^2}}{2}$

Para que os valores sejam o seno e o cosseno do mesmo ângulo, eles devem obedecer a relação trigonométrica abaixo:
$sen^2x+cos^2x=1 \\ \left(\frac{m - \sqrt{-4m-3m^2}}{2}\right)^2+\left(\frac{m + \sqrt{-4m-3m^2}}{2}\right)^2=1 \\ m^2-2m\sqrt{-4m-3m^2}-4m-3m^2+m^2+2m\sqrt{-4m-3m^2}-4m-3m^2=4 \\ m^2+2m+1=0\, \therefore\, m=-1$

Se m = -1, os valores de x na equação são 0 e -1. Os pares podem ser (0, -1) ou (-1, 0).

O ângulo cujo seno e cosseno são 0 e -1, respectivamente, é o ângulo 3π/2.
O ângulo cujo seno e cosseno são -1 e 0, respectivamente, é o ângulo π.