Question

se f e g são funções reais definidas por f(x)= raiz de X e g(x)= x\ 2x² - 5x +2 então o dominio da função composta fog é o conjunto ?

Answer 1

$\mathsf{f(x)=\sqrt{x}\hspace{50}g(x)=\dfrac{x}{2x^{2}-5x+2}}$

Encontrando $\mathsf{f\circ g}$:

$\mathsf{(f\circ g)\,(x)=f(g(x))}\\\\\\\mathsf{(f\circ g)\,(x)=f\bigg(\dfrac{x}{2x^{2}-5x+2}\bigg)}\\\\\\\mathsf{(f\circ g)\,(x)=\sqrt{\dfrac{x}{2x^{2}-5x+2}}}$

Primeiramente, não podemos ter denominador nulo em uma fração. Então, vamos achar o(s) valor(es) que anulam o denominador $\mathsf{2x^{2}-5x+2}$, via Bhaskara

$\mathsf{\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot2\cdot2=25-16=9}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}=\dfrac{5\pm3}{4}\begin{cases}\mathsf{x=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}}\\\\\mathsf{x=\frac{5+3}{4}=2}\end{cases}}$

Então, devemos ter $\mathsf{x\neq\frac{1}{2}}$ e $\mathsf{x\neq2}$

Além disso, sabemos que o radicando de raízes com índice par deve ser um número não negativo para que a função retorne valores reais

Portanto, devemos ter

$\mathsf{\dfrac{x}{2x^{2}-5x+2}\ge0}$

Temos que $\mathsf{h(x)=2x^{2}-5x+2}$ é uma função quadrática com concavidade para cima, pois o coeficiente de x² é um número positivo, portanto essa função é negativa entre suas raízes, e positiva nos outros valores de x (fora desse intervalo)

Resumindo, $\mathsf{2x^{2}-5x+2\begin{cases}\mathsf{\ \textless \ 0\,\,\,\,se\,\,\frac{1}{2}\ \textless \ x\ \textless \ 2}\\\mathsf{\,\,=0\,\,\,\,se\,\,x=\frac{1}{2}\,\,ou\,\,x=2}\\\mathsf{\ \textgreater \ 0\,\,\,\,se\,\,x\ \textless \ \frac{1}{2}\,\,ou\,\,x\ \textgreater \ 2}\end{cases}}$

Além disso, a função do numerador $\mathsf{m(x)=x}$ tem sinal fácil de ser avaliado: é positiva para valores positivos de x, negativa para valores negativos de x, e nula para x = 0

Criando um quadro de sinais (que está em anexo), podemos ver como as duas funções do numerador e denominador se comportam em cada sub-intervalo da reta.

Fazendo o quociente de sinais, verificamos que a função

$\mathsf{\dfrac{x}{2x^{2}-5x+2}}$

é positiva se $\mathsf{0\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2}}$ ou se $\mathsf{x\ \textgreater \ 2}$


Conclusão

Para $\mathsf{f\circ g}$ estar bem definida, devemos ter que

$\bullet\,\,\mathsf{x\neq\frac{1}{2}\,\,\,\,e\,\,\,\,x\neq2}\\\\\bullet\,\,\mathsf{0\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2}\,\,\,\,ou\,\,\,\,x\ \textgreater \ 2}$

Portanto, podemos expressar o domínio de $\mathsf{f\circ g}$, o conjunto de valores que x pode assumir para que a função esteja bem definida, como

$\boxed{\boxed{\mathsf{Dom\{f\circ g\}=\bigg(0,\,\,\frac{1}{2}\bigg)\,\cup\,(2,\infty)=\bigg\{x\in\mathbb{R}:0\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2}\,\,ou\,\,x\ \textgreater \ 2\bigg\}}}}$