Question

João e Maria estao em uma discussão sobre os números inteiros da forma 5². 6²/d, em que d é um número inteiro positivo. Joao acha que há exatamente 9. Maria discorda dele. Ela estará com razão se afirmar que a quantidade de números dessa forma

Answer 1

Um número com essa forma só será inteiro se d for um divisor de 5² . 6²

Sabemos que um número x com fatoração em primos

$\mathsf{x=p_{1}^{n_{1}}\cdot p_{2}^{n_{2}}\cdot...\cdot p_{k}^{n_{k}}}$

possui $\mathsf{(n_{1}+1)\cdot(n_{2}+1)\cdot...\cdot(n_{k}+1)}$ divisores positivos.


Para encontrarmos a quantidade de divisores de 5² . 6², precisamos de sua fatoração em primos

Sabendo que 6 = 2 . 3, temos que

$\mathsf{x=5^{2}\cdot6^{2}=5^{2}\cdot(2\cdot3)^{2}=2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{2}}$

Tendo a fatoração em primos, sabemos que o numerador desse número possui

$\mathsf{(2+1)\cdot(2+1)\cdot(2+1)=3\cdot3\cdot3=27}$ divisores positivos

Portanto, há 27 possíveis valores de d que fazem com que a razão $\mathsf{\frac{5^{2}\cdot6^{2}}{d}}$ seja um número inteiro, e não 9.