Question

Sendo f(x) > 0 e [f(x)]^2 + x * f(x) = 6, para todo x real, tem-se que f(1) é igual a ?

Answer 1

Temos que f(x) > 0 e f(x)² + xf(x) = 6. Podemos resolver este problema utilizando uma equação do segundo grau, com variável f(1).

Se o enunciado procura o valor de f(1), temos que x = 1, então, podemos substituir e encontrar a equação do segundo grau:
f(1)² + 1*f(1) = 6
f(1)² + f(1) - 6 = 0

Utilizando Bhaskara:
$f(1)_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4*1*(-6)} }{2*1} \\ \\ f(1)_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 +24} }{2} \\ \\ f(1)_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25} }{2} \\ \\ f(1)_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 5 }{2} \\ \\ f(1)_1 = \dfrac{-1 + 5 }{2} = 2\\ \\ f(1)_2 = \dfrac{-1 -5 }{2} = -3$

Como f(x) é maior que 0, o único valor válido de f(1) é 2.