Question

Seja f a função definida por f(x) = 1/x(x+1).

a) Determine os números A e B de modo que

f(x) = A/x + B/(x+1)

A letra "a" eu consegui : A = 1 e B = -1

b) Considerando o resultado anterior, mostre que:

f(1) + f(2) + ... + f(100) = 100/101

So falta a letra "b".

Answer 1

Olá!

Como formalidade do site, deixarei a solução do item a) também:

a)

f(x) = 1/[x(x+1)] = A/x + B/(x+ 1)

1/[x(x+1)] = [A(x+1) + Bx] / [x(x+1)]

Comparamos os numeradores:

1 = A(x+1) + Bx

Fazemos x = 0 para anular B:

1 = A(0+1)

A = 1

Fazemos x = -1 para anular B:

1 = -B

B = -1


Agora sim. Vamos ao item B:

b) Vamos escrever a função do modo de frações parciais(é como fazemos no item a)

f(x) = 1/x - 1/(x+1)


f(1) = 1 - 1/2

f(2) = 1/2 - 1/3

f(3) = 1/3 - 1/4

f(4) = 1/4 - 1/5

...

f(100) = 1/100 - 1/101

Veja que se somarmos f(1) até f(100), o 1/x sempre cancela com o -1/(x+1) anterior: o ½ do f(2) cancela com o -½ do f(1); o ⅓ do f(3) cancela com o -⅓ do f(2) e assim segue, até termos o 1/100 cancelado.

Logo, a soma será reduzida a:

f(1) + f(2) + ... + f(100) = 1 - 1/101 = 101/101 - 1/101

f(1) + f(2) + ... + f(100) = 100/101


Esse é um tema que recomendo leitura, é uma Soma Telescópica.

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