Question

Prove por indução que:


2 | (n² + n), n E N

Answer 1

Provar por indução que, para todo  n  natural,  (n² + n)  é par, isto é,  2  divide  (n² + n).


     •  Caso base.  Para  n = 0  a fórmula é válida:

        0² + 0 = 2 · 0

        0 = 2 · 0

        2 | 0        ✔


     •  Hipótese de indução  (H.I.).  Suponha que a proposição seja válida para algum  n = k > 0:

        2 | (k² + k)

        k² + k = 2q

        para algum  q  natural.


     •  Passo indutivo:  Verificar que a proposição é válida para  n = k + 1:

        $\mathsf{(k+1)^2+(k+1)=(k^2+2k+1)+(k+1)}\\\\ \mathsf{(k+1)^2+(k+1)=k^2+2k+1+k+1}$


Reagrupe os termos do lado direito de modo que aparece a H.I.:

        $\mathsf{(k+1)^2+(k+1)=(k^2+k)+2k+2}$


Aplicando a  H.I.  ao lado direito, temos que

        $\mathsf{(k+1)^2+(k+1)=2q+2k+2}\\\\ \mathsf{(k+1)^2+(k+1)=2\cdot (q+k+1)}\\\\ \mathsf{(k+1)^2+(k+1)=2q'}$

        onde  q' = q + k + 1  é também um número natural.


Logo,

     2 | [(k + 1)² + (k + 1)]

como queríamos demonstrar.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)