Question

Resolva a equação x + mx + 2x + n = 0, sabendo que 1 + i é raiz

Answer 1

x³ +mx² + 2x + n = 0

uma das raízes é 1 + i, o conjugado também será raiz neste caso 1 - i
a outra raiz  vou chamar de y.

pela relação de girard 

I) x1 + x2 + x3 = -b / a
II) x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c / a
III) x1 + x2 + x3 = -d / a

podemos usar a segunda;
x1 = 1 + i
x2 = 1 - i
x3 = y
c = 2
a = 1

(1+i).(1-i) + (1+i).y + (1-i).y = 2
1 - i + i - i² + y + y.i + y - y.i = 2
como i² = -1

1  - (-1) + 2y = 2
1 + 1 + 2y = 2

2 + 2y = 2
2y = 2 - 2
2y = 0
y = 0/2
y = 0

a outra raiz é 0

x³ +mx² + 2x + n = 0
substituindo em x
0³ + m.0² + 2.0 + n = 0
n = 0

vamos achar o valor de m
pela I relação de girard 
x1 + x2 + x3 = -b/a
1 + i +1 - i + 0 = -m
1 + 1 = -m
m= -2

portanto:
x³ - 2x² + 2x = 0