Question

A equação y2 + ay + b = 0 de coeficientes 1, a e b possui duas raízes reais distintas C e D. Podemos afirmar que C2 + D2
é igual a:
A) a2 – 2ab+b2
B) a2 – 2ab
C) a2 – b2
D) a2 – 2b

Answer 1

Sabemos que se a equação
$y^2 + ay + b = 0$
tem raízes reais distintas $C$ e $D$, então:
• $a = -(C + D)$
• $b = CD$

Assim, podemos notar que o quadrado do binómio mostra que:
$\underbrace{(C + D)^2}_{a^2} = C^2 + 2\underbrace{CD}_{b} + D^2 \iff a^2 = C^2 + D^2 + 2b \iff C^2 + D^2 = a^2 - 2b$

Resposta: D) $a^2 - 2b$

Answer 2

Se a equação possui duas raízes distintas C e D e o coeficiente de y² é 1,então podemos dizer que:

(y-C)(y-D)=y²+ay+b => y²-Dy-Cy+CD=y²+ay+b

y²+y(-C-D)+CD=y²+ay+b

Por identidade de polinômios,obtemos que:

I.-C-D=a => C+D = -a

II.CD=b

Elevando ambos os termos de (I) ao quadrado,ficamos com :

(C+D)² = (-a)² => C²+2CD+D² = a²,pois (-a)²=a²

Por (II),sabemos que CD=b.Assim:

C²+D² = a²-2b <--- esta é a resposta

Item D