Question

Fatore a expressão x⁸-17x⁴+16.

Answer 1

Podemos começar por fazer a mudança de variável $y = x^4$, pelo que $x^8 = y^2$. Assim, obtemos:
$y^2 -17y+16$

A expressão pode então ser fatorizada tendo em conta que $1 + 16 = 17$ e $1 \times 16 = 16$, obtendo-se:
$(y-1)(y-16)$

Façamos agora a mudança de variável $z=x^2$, pelo que $y = z^2$. Assim, obtemos:
$(z^2-1)(z^2-16)$

Pelo caso notável da diferença de quadrados, vem:
$(z-1)(z+1)(z-4)(z+4)$

Como $z=x^2$, vem:
$(x^2-1)(x^2+1)(x^2-4)(x^2+4)$

Aplicando uma última vez o caso notável da difração de quadrados, temos finalmente:
$(x+1)(x-1)(x^2+1)(x-2)(x+2)(x^2+4)$

Se $x\in\mathbb{C}$, podemos ainda escrever
$(x+1)(x-1)(x-i)(x+i)(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)$

Note que neste último caso obtemos 8 fatores (cada um correspondendo a uma raiz), tal como seria de esperar pelo teorema fundamental da álgebra.