Question

Determine em seu caderno os valores de x e de y no trapézio ABCD abaixo.

Alguém consegue me explicar?

Answer 1

Podemos resolver utilizando a trigonometria.

Se observarmos bem a figura, este trapézio é formado por dois triângulos retângulos e um retângulo de base 8cm. Temos que a base maior do trapézio vale 20cm, então para encontrar x e y, podemos usar a relação trigonométrica do cosseno.

O cosseno relaciona a hipotenusa com o cateto adjacente do triângulo. Chamando o cateto adjacente do triângulo a esquerda de A e o da direita de B, então:
$cos(60) = \dfrac{A}{x} \\ \\ x = 2A\\ \\ \\ cos(30) = \dfrac{B}{y} \\ \\ y= \dfrac{ \sqrt{3} }{2} B$

Temos que A+B+8 = 20. Então:
$2x + \dfrac{2 \sqrt{3} }{3}y = 12$

Podemos também relacionar o cateto oposto C:
$sen(60) = \dfrac{C}{x} \\ \\ C = x\dfrac{\sqrt{3} }{2} \\ \\ \\ sen(30) = \dfrac{C}{y} \\ \\ C = 2y$

O cateto oposto aos 2 ângulos são iguais, então:
$\dfrac{ \sqrt{3} }{2}x = 2y \\ \\ y = \dfrac{ \sqrt{3} }{4}x$

Substituindo y na primeira equação:
$2x + \dfrac{2 \sqrt{3} }{3}*\dfrac{ \sqrt{3} }{4}x = 12 \\ \\ 2x + \dfrac{1}{2}x = 12 \\ \\ \dfrac{3x}{2} = 12x \\ \\ x = 8$

Agora podemos encontrar y:
$y = \dfrac{ \sqrt{3} }{4}x \\ \\ y = \dfrac{ \sqrt{3} }{4}*8 \\ \\ y = 2 \sqrt{3}$