Question

Oi gente estou precisando de ajuda!O professor não explicou tão bem!Por favor ajudem!


Questão 2: Calcule os seguintes limites.

Answer 1

Pretendemos calcular:
$\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{x \int_3^x \frac{\sin t}{t} \textrm{ d}t}{x-3}$

Notamos que se substituirmos x por 3 diretamente obtemos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, pois os limites de integração iriam coincidir.

Assim, podemos aplicar a regra de Cauchy, derivando o numerador e o denominador em ordem a x. Note que para derivar o integral aplicamos o teorema fundamental do cálculo. Tem-se:
• $\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \left(x \int_3^x \dfrac{\sin t}{t} \textrm{ d}t}\right) = \dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}x} \int_3^x \dfrac{\sin t}{t} \textrm{ d}t} + x\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \left(\int_3^x \dfrac{\sin t}{t} \textrm{ d}t}\right) = \int_3^x \dfrac{\sin t}{t} \textrm{ d}t} + x\dfrac{\sin x}{x}$
• $\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}(x-3) = 1$

Assim, o limite a calcular é igual a:
$\lim\limits_{x\to 3} \left(\int_3^x \dfrac{\sin t}{t} \textrm{ d}t} + x\dfrac{\sin x}{x}\right) = 0 + 3\times\dfrac{\sin 3}{3} = \sin 3$