Question

A solução da equação |z| + z = 2 + i é um número complexo de módulo: Resposta correta = 5/4

Answer 1

Seja $z=x+iy, \: x, y \in\mathbb{R}$. Vem:
$|z| + z = 2 + i \iff \sqrt{x^2 + y^2} + x + iy = 2 + i$

Igualando as partes real e imaginária, vem:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} + x = 2 \\ y = 1\\\end{cases} \iff \sqrt{x^2 + 1} + x = 2 \iff \sqrt{x^2 + 1}=2-x \implies x^2 + 1 = (2-x)^2$

Aplicando o caso notável do quadrado do binómio, vem:
$x^2 + 1 = 4 - 4x + x^2 \iff 4x = 3 \iff x = \dfrac{3}{4}$

Assim:
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{9 + 16}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \dfrac{5}{4}$