Question

Resolva a equação:

x+2/√x-1 - √x/1 = 4/1

Answer 1

Bom dia.

É preciso eliminar a raiz √ do denominador. Neste caso, o ideal é elevar ao quadrado a raiz, aí ela desaparece. No caso de $(x+2)/\sqrt{x} +1$ , multiplicando em cima e embaixo por $\sqrt{x} -1$, fica:

$\frac{(x+2)}{ \sqrt{x} -1} * \frac{ \sqrt{x} +1}{ \sqrt{x} +1}= \frac{(x+2)* (\sqrt{x} +1)}{( \sqrt{x} )^2-1^2} = \frac{(x+2)* (\sqrt{x} +1)}{x-1}$

Lembrando que o produto notável usado acima foi: (a + b) . (a - b) = a² - b²

- √x/1 é a mesma coisa que -√x (todo número divido por 1 é igual a ele mesmo).

Passando -√x para o outro lado da igualdade, fica: = 4 + √x.

Agora, é só juntar tudo e resolver:

$\frac{(x+2)* (\sqrt{x} +1)}{x-1} =4+ \sqrt{x} \\ \\ (x+2)*( \sqrt{x} +1)=(4+ \sqrt{x} )*(x-1) \\ \\ x \sqrt{x} +x+2 \sqrt{x} +2=4x-4+x \sqrt{x} - \sqrt{x} \\ \\ x \sqrt{x} -x \sqrt{x} +2 \sqrt{x} + \sqrt{x} +2+4=4x-x \\ \\ 0 +3 \sqrt{x} +6=3x \\ \\ 3( \sqrt{x} +2)=3x \\ \\ \frac{3( \sqrt{x} +2)}{3} =x \\ \\ \sqrt{x} +2=x \\ \\ \sqrt{x} =x-2 \\ \\ ( \sqrt{x} )^2=(x-2)^2 \\ \\ x=x^2-2*x*2+2^2 \\ \\ x= x^{2} -4x+4 \\ \\ x^2-5x+4=0$

Chegamos em uma equação do 2° grau.

Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² - 4.1.4
Δ = 25 - 16 = 9

$x= \frac{-b_{+-} \sqrt{delta} }{2a} = \frac{-(-5)_{+-} \sqrt{9} }{2.1} = \frac{5_{+-}(3)}{2} \\ \\ x_1= \frac{5-3}{2} =2/2=1 \\ \\ x_2= \frac{5+3}{2}=8/2=4 \\ \\ Resposta:S=(1;4)$

Mas tem um detalhe: note que $\sqrt{x} -1$ está no denominador. Se x for igual a 1, $\sqrt{x} -1= \sqrt{1} -1=0$, e isso não pode acontecer, já que não se definem divisões em que o denominador é zero.

Logo, a resposta final é: S = {4}

Espero que tenha ajudado. ^^