Question

Sabe-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 da equação x5- 3 • x4+ 4 • x3- 4 • x2+ 3 • x - 1 = 0. As outras raízes dessa equação, no Conjunto Numérico dos Complexos, são (A) (- 1 - i) e (1 + i). (B) (1 - i)2. (C) (- i) e (+ i). (D) (- 1) e (+ 1). (E) (1 - i) e (1 + i).

Answer 1

Olá.

 

O enunciado nos deu que “1 é uma raiz de multiplicidade 3”, logo, podemos afirmar que existem 3 raízes iguais a 1. Essa informação é importante, pois nos dá raízes para usarmos no método de Briot-Ruffini.

 

Como foi dito que existem raízes iguais a 1, podemos afirmar que essa equação de quinto grau é divisível por (x – 1)³, pois esse binômio gera 3 raízes iguais a 1. Veja:

 

$\mathsf{(x-1)^3=0}\\\\ \mathsf{(x'-1)(x''-1)(x'''-1)=}\\\\\\ \mathsf{x'-1=0~\therefore~x'=1}\\\\ \mathsf{x''-1=0~\therefore~x''=1}\\\\ \mathsf{x'''-1=0~\therefore~x'''=1}$

 

Sabendo disso, podemos aplicar o método de Briot-Ruffini, que demonstro abaixo de forma algébrica:

 

$\boxed{~~\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &&&&&\\ r'&a&b&c&d&e&f\\ \textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}\\ r''&a_1&a_2&a_3&a_4&a_5&a_6\\ \textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}\\ r'''&a_7&a_8&a_9&a_{10}&a_{11}&a_{12}\\ \textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}\\ &a_{13}&a_{14}&a_{15}&a_{16}&a_{17}&a_{18}\\ &&&&&\end{array}~~}$

 

Onde:

 

    r', r’’, r’’’: são as raízes que sabemos do polinômio, no caso, 1;

    a, b, c, d, e, f são os coeficientes da equação de 5° grau, obtidos pela forma ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f;

    Os primeiros termos sempre terão seu valor igual a 1;

    Todos os termos do tipo aₙ (exceto a₁, a₇, a₁₃) são obtidos através do produto do termo antecessor (aₙ₋₁) com r e o resultado somado ao valor do número que está acima do termo.

 

Ficou confuso? Demonstro o cálculo de a₂, a₃ e a₈ para ilustrar. Teremos:

 

$\mathsf{a_2=a_1\cdot r'+b}\\\\ \mathsf{a_3=a_2\cdot r'+c}\\\\ \mathsf{a_8=a_7\cdot r''+a_2}$

 

Aplicando o que foi demonstrado acima, de forma mais ampla, teremos:

 

$\boxed{~~\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &&&&&\\ 1&1&-3&4&-4&3&-1\\ \textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}\\ 1&1&-2&2&-2&1&0\\ \textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}\\ 1&1&-1&1&-1&0&0\\ \textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{-------}&\textsf{---------}&\\ &1&0&1&0&0&0\\ &&&&&\\ &a&b&c&&\\ \end{array}~~}$

 

Os três primeiros termos (depois do lugar da raiz) podem formar uma equação do tipo ax² + bx + c = 0. Essa equação é a que multiplica (x – 1)³. Teremos:

 

$\mathsf{(x-1)^3\cdot(1x^2+0x+1)=0}\\\\ \mathsf{(x-1)^3\cdot(x^2+1)=0}$

 

Para saber o resultado das outras duas raízes, basta igualar (x² + 1) a zero. Teremos:

 

$\mathsf{(x^2+1)=0}\\\\ \mathsf{x^2+1=0}\\\\ \mathsf{x^2=-1}\\\\ \mathsf{x=\pm(\sqrt{-1})}\\\\ \mathsf{x=\pm(\sqrt{1}\cdot\sqrt{-1})}\\\\ \mathsf{x=\pm(\sqrt{1}\cdot i)}\\\\ \mathsf{x=\pm(1\cdot i)}\\\\ \mathsf{x=\pm i}\\\\ \\ \mathsf{S=\left\{x\in\mathbb{C}~|~-i,~i,~1,~1,~1\right\}}$

 

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa C.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

Resposta:

A resposta para o exercício é x=+i e x=-i

Explicação passo a passo:

Com base nos dados fornecido temos que o polinômio X^5-3X^4+4X^3-4X^2+3X-1 é divisível pelo polinômio ( x-1 )^3, uma vez que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equação

observação: ( x-1 )^3= X^3-3X^2+3X-1

Assim ao dividirmos os polinômios

• (X^5-3X^4+4X^3-4X^2+3X-1)÷(X^3-3X^2+3X-1)=X^2+1

Portando as ouras duas raízes desse polinômio também são raízes do quociente(X^2+1) da divisão acima . Sendo suas essas encontradas da seguinte forma :

X^2+1=0

X^2=-1 (  extraindo a raiz quadrada de ambos os lados )

√(X^2)= √(-1) ( sabendo que raiz quadrada de -1 = i)

X=- i ou X = +i

espero ter fornecido um método mais simples .