Sabe-se que 1 é uma raiz de multiplicidade 3 da equação x5- 3 • x4+ 4 • x3- 4 • x2+ 3 • x - 1 = 0. As outras raízes dessa equação, no Conjunto Numérico dos Complexos, são (A) (- 1 - i) e (1 + i). (B) (1 - i)2. (C) (- i) e (+ i). (D) (- 1) e (+ 1). (E) (1 - i) e (1 + i).
Respostas
Olá.
O enunciado nos deu que “1 é uma raiz de multiplicidade 3”, logo, podemos afirmar que existem 3 raízes iguais a 1. Essa informação é importante, pois nos dá raízes para usarmos no método de Briot-Ruffini.
Como foi dito que existem raízes iguais a 1, podemos afirmar que essa equação de quinto grau é divisível por (x – 1)³, pois esse binômio gera 3 raízes iguais a 1. Veja:
Sabendo disso, podemos aplicar o método de Briot-Ruffini, que demonstro abaixo de forma algébrica:
Onde:
r', r’’, r’’’: são as raízes que sabemos do polinômio, no caso, 1;
a, b, c, d, e, f são os coeficientes da equação de 5° grau, obtidos pela forma ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f;
Os primeiros termos sempre terão seu valor igual a 1;
Todos os termos do tipo aₙ (exceto a₁, a₇, a₁₃) são obtidos através do produto do termo antecessor (aₙ₋₁) com r e o resultado somado ao valor do número que está acima do termo.
Ficou confuso? Demonstro o cálculo de a₂, a₃ e a₈ para ilustrar. Teremos:
Aplicando o que foi demonstrado acima, de forma mais ampla, teremos:
Os três primeiros termos (depois do lugar da raiz) podem formar uma equação do tipo ax² + bx + c = 0. Essa equação é a que multiplica (x – 1)³. Teremos:
Para saber o resultado das outras duas raízes, basta igualar (x² + 1) a zero. Teremos:
Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa C.
Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos
Resposta:
A resposta para o exercício é x=+i e x=-i
Explicação passo a passo:
Com base nos dados fornecido temos que o polinômio X^5-3X^4+4X^3-4X^2+3X-1 é divisível pelo polinômio ( x-1 )^3, uma vez que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equação
observação: ( x-1 )^3= X^3-3X^2+3X-1
Assim ao dividirmos os polinômios
- (X^5-3X^4+4X^3-4X^2+3X-1)÷(X^3-3X^2+3X-1)=X^2+1
Portando as ouras duas raízes desse polinômio também são raízes do quociente(X^2+1) da divisão acima . Sendo suas essas encontradas da seguinte forma :
X^2+1=0
X^2=-1 ( extraindo a raiz quadrada de ambos os lados )
√(X^2)= √(-1) ( sabendo que raiz quadrada de -1 = i)
X=- i ou X = +i
espero ter fornecido um método mais simples .