Question

Me ajudem a resolver essa equação fatorial!
(6-n)! - (4-n)!/ (5-n)! = 11/3

Answer 1

É dada a seguinte equação:

$\dfrac{(6-n)!-(4-n)!}{(5-n)!}=\dfrac{11}{3}$

O jeito mais fácil de resolver esse tipo de questão, é abrir os termos em fatorial de modo que surjam parcelas que possam ser canceladas. Veja:

$\dfrac{(6-n)\cdot(5-n)\cdot(4-n)!-(4-n)!}{(5-n)\cdot(4-n)!}=\dfrac{11}{3}\\\\ \dfrac{[(6-n)\cdot(5-n)-1]\cdot(4-n)!}{(5-n)\cdot(4-n)!}=\dfrac{11}{3}$

Agora, aparece o termo (4-n)! multiplicando o numerador e o denominador. Cancelando-o e desenvolvendo a equação:

 $\dfrac{(6-n)\cdot(5-n)-1}{(5-n)}=\dfrac{11}{3}\\\\ \dfrac{30-11n+n^2-1}{5-n}=\dfrac{11}{3}\\\\ \dfrac{n^2-11n+29}{5-n}=\dfrac{11}{3}\\\\ (n^2-11n+29)\cdot3=(5-n)\cdot11\\\\ 3n^2-33n+87=55-11n\\\\ 3n^2-22n+32=0$

Resolvendo a equação do segundo grau:

$\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-22)^2-4\cdot3\cdot32=484-384\\\\ \Delta=100\\\\\\ n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-22)\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}=\dfrac{22\pm10}{6}\\\\\Longrightarrow \begin{cases}n_1=\dfrac{22+10}{6}=\dfrac{32}{6}\Longrightarrow n_1=\dfrac{16}{3}\\ \\n_2=\dfrac{22-10}{6}=\dfrac{12}{6}\Longrightarrow \boxed{n_2=2}~\checkmark\end{cases}$

Como o valor de n é inteiro, ele não pode ser igual a 16/3. Logo, a única resposta possível é n = 2.