Question

Em cada item a seguir, analise se as medidas são côngruas, isto é, determinações do mesmo arco trigonométrico

a) 148º e 1 228º

b) -(26 pi sobre 9) e 10 pi sobre 9

c)423º e -837º

d)-(5 pi sobre 7) e -(40 pi sobre 7)

Answer 1

Olá para resolver a questão você deve saber que:

Se um arco mede α graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele da seguinte forma: α + 360º*k.

Se a medida do ângulo do arco seja dada em radianos, representamos por:
 α + 2π*k,

Onde "k" é um número inteiro, o que representa que as medidas são côngruas.

A determinação de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições:

 0º ≤ α < 360º 

 0 ≤ α < 2π.


Na questões temos o caso de que os ângulos são maior que 360º . Então tem que fazer a divisão deles por 360º e considerar o resto, como o valor da determinação principal. Assim o resultado da divisão podemos saber quantas voltas o arco realizou.

Então, aplicando as fórmulas mencionadas, temos:


a) 1.228º e 148º.  

$1228^o - 148^o = 360^o *k$

$1.080^o = 360^o *k$

$k = \frac{1080^o}{360^o}$

$k = 3$ 

Assim, k é um numero inteiro, então as duas medidas são côngruas. 



 b)  $\frac{10 \pi }{9}$ e $-\frac{26 \pi }{9}$

$360^o*k = \frac{10 \pi }{9} -(-\frac{26 \pi }{9})$

$360^o*k = \frac{10 \pi }{9} + \frac{26 \pi }{9}$

Dessa forma $\pi = 180^o$ 

$360^o*k = \frac{10 * 180^o }{9} + \frac{26 * 180^o }{9}$

$360^o*k = \frac{1800^o }{9} + \frac{4680^o}{9}$

$360^o*k = \frac{(1800^o + 4680^o)}{9}$

$360^o*k = \frac{6840^o}{9}$

$360^o*k = 720$

$k= \frac{720^o}{360^o}$

$k = 2$

Assim, k é um numero inteiro, então as duas medidas são côngruas. 


c) 423º e -837º. 

$360^o *k = 423^o - (-837^o)$

$360 ^o*k = 423^o + 837^o$

$360 ^o*k = 1260 ^o$

$k = \frac{1260 ^o}{360 ^o}$

$k = 3,5$

Assim com K não é um número inteiro as medidas não são côngruas. 


d)  $- \frac{5 \pi }{7}$ e  $- \frac{40 \pi }{7}$ 

$360^o*k = - \frac{5 \pi }{7} -(-\frac{40 \pi }{7})$

 Assim temos que $\pi = 180^o$

$360^o*k = - \frac{5 * 180^o }{7} + \frac{40 * 180^o }{7}$

$360^o*k = - \frac{900 ^o}{7} + \frac{7200 ^o }{7}$

$360^o*k = \frac{(-900^o + 7200^o)}{7}$

$360^o*k = \frac{(6300^o)}{7}$

$360^o*k = 900^o$

$k = \frac{900^o}{360^o}$

$k = 2,5$


Assim com K não é um número inteiro as medidas não são côngruas.