Question

gostaria de exemplos de logaritmos de todos os jeitos e como resolve-lós

Answer 1

Propriedade do produto do logaritmo:
Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga(x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.
loga (x * y) = loga x + loga y

Exemplo:
log2(32 * 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9

Propriedades do quociente do logaritmo:
Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.
logax/y = logax – logay

Exemplo:
log5(625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1

Propriedade da potência do logaritmo:
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:
logaxm = m*logax

Exemplo:
log3812 = 2*log381 = 2 * 4 = 8

Espero que tenha ajudado!

Answer 2

Vamos relembrar a definição, as propriedades P 1, P 2 e P 3 e a Propriedade de mudança de base de logaritmos, vamos lá

Definição:

$Log _{a}b=c$

chama-se Log de c, na base a, é igual a b

onde:

a  é a base 
c  é o logaritmo
b  é o logaritmando


Determine x nos casos abaixo:

a) $Log\left _{0,25}16$ =x

pelas propriedades da potenciação, sabemos que,
 
0,25= $\frac{1}{4}= \frac{1}{2 ^2} }=2 ^{-2}$ e que 16 = $2 ^{4}$ 

==> $2 ^{-2(x)}=2 ^{4}$ ==> note que temos aqui uma equação exponencial, 

e como temos bases iguais, eliminamos as bases e conservamos os expoentes:

$2 ^{-2x}=2 ^{4}$ ==> $-2 x^{}=4$ ==> $x= \frac{4}{-2}$

$x=-2$


b) $Log\left _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x$ aplicando as propriedades de expoente racional e as mesmas propriedades já aplicadas :

 $Log _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x$ ==> $\sqrt{5} ^{x}= \frac{1}{625}$

<===> $\sqrt[2]{5 ^{1} } ^{(x)}= \frac{1}{5 ^{4} }=5 ^{ \frac{1}{2}x }=5 ^{-4}$

eliminando as bases e conservando os expoentes:

$\frac{1}{2}x=-4$ ==> $x= \frac{-4}{ \frac{1}{2} }$ ==> 

$x=-8$


c) $Log _{x}49=2$ ==> $x^{2} =49$ ==> $x= \sqrt[2]{7 ^{2} }$

==> $x=7 ^{ \frac{2}{2} }$ ==> $x= \frac{+}{} 7$ como, pela condição

de existência, a base deve ser maior que 1 e diferente de zero,  $x=7$


d) $Log\left _{2}0,5=x+1$ ==> $2 ^{x+1}= \frac{1}{2}$

<==> $2 ^{x+1}=2 ^{-1}$ eliminando as bases e conservando os expoentes

$x+1=-1$ ==> $x=-2$
 


Propriedades decorrentes da definição:

D 1    $Log _{a}1$ ==> $Log _{a}1=0$ ==> $a ^{0}=1$

D 2    $Log _{b}b$ ==> $Log _{b}b=1$ ==> $b ^{1}=b$


a) $Log _{25}1$ = $25 ^{0}=1$

b) $Log _{4}4$ ==> $Log _{4}4=1$ ==> $4 ^{1}=4$



Propriedades Operatórias
 
P 1    Logaritmo do Produto:

$Log \left a*b=Log\left a+Log\left b$


P 2    Logaritmo do Quociente:

$Log\left \frac{a}{b}=Log\left a-Log \left b$

P 3   Logaritmo de Potência:

$Log \left b ^{a}=a*Log\left b=a*b$


Dados Log2=0,301; Log3=0,477; Log5=0,699 e Log7=0,8451

a) Calcule Log6

Resolução:

sabemos que a forma fatorada de 6 é 2*3, então:

$Log6=Log2*3=Log2*Log3$ aplicando a 1a propriedade, Logaritmo do produto:

<===> $Log2*Log3$ ==> $Log2+Log3$ substituindo os valores de log dados

acima, temos:  0,301+0,477 ==> $Log6=0,778$


b) Calcule Log0,6

sabemos que 0,6 é o mesmo que $\frac{3}{5}$ ,então o logaritmo ficará assim:

$Log \frac{3}{5}$ aplicando a P 2, temos:

$Log \frac{3}{5}=Log3-Log5$ substituindo os valores de log:

<===> 0,477-0,699 ==> $Log0,6= -0,222$


c) Calcule Log240

fatorando o 240, obtemos $2 ^{4}*3*5$, então o log ficará assim:

$Log2 ^{4}*3*5=Log2 ^{4}*Log3*Log5=Log2 ^{4}+Log3+Log5$

note que aplicamos a P 1, agora vamos aplicar a P 3, e o log ficará assim:

$Log2 ^{4}+Log3+Log5=4Log2+Log3+Log5$

substituindo os valores de log dados acima, temos:

4*0,301+0,477+0,699 ==> $Log240=1,204+1,176$ ==> $Log240=2,38$



Propriedade de Mudança de Base 

Os logaritmos estudados até agora encontravam-se na base 10, (porque quando os logaritmos estão na base 10, esta base é omitida), agora vamos precisar mudar a base do logaritmo dado para facilitar os cálculos dos logaritmos, e é dada pela seguinte propriedade:

$Log\left _{b}a= \frac{Log\left a}{Log\left b}$


Dada esta propriedade, determine $Log _{2,3} \sqrt[3]{16}$ 

sabemos que 2,3 é o mesmo que $\frac{7}{3}$ então o log ficará assim:

$Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16}$ aplicando a mudança de base:

$Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16}= \frac{Log \sqrt[3]{16} }{Log \frac{7}{3} }$

transformando a raiz cúbica de 16 em expoente racional, temos:

$\sqrt[3]{16}= \sqrt[3]{2 ^{4} }=2 ^{ \frac{3}{4} }$ então o Log ficará assim:

$\frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} }$ aplicando a P 2 e a P 3

$\frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} }= \frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3}$

como os logaritmos, agora encontram-se na base 10, é só substituir os valores de log

$\frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3}= \frac{ \frac{3}{4}*0,301 }{0,8451-0,477}$

<===> $\frac{0,2257}{0,3681}= 0,6131$

espero ter ajudado :D