Considere o polinômio p(x) = x - ax + x - a e analise as seguintes afirmativas: 1. i = v-í é uma raiz desse polinômio. 2. Qualquer que seja o valor de a, p(x) é divisível por x - a. 3. Para que p(-2) = -10, o valor de a deve ser 0. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. *e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

Anexos:

Respostas

respondido por: Trel

Olá.

Podemos encontrar a resposta para essa questão apenas fatorando esse polinômio.

Temos o polinômio:

$\mathsf{p(x)=x^3-ax^2+x-a}$

O método mais conveniente de o fatorar é colocando um binômio em evidência. É notável que o polinômio está dividido em duas partes, que tem um x independente e outro termo com a.

As partes são: x³ - ax² | x – a

Ambas as partes tem em comum (x – a), logo, podemos buscar colocar esse binômio em evidência.

$\mathsf{p(x)=x^3-ax^2+x-a}\\\\ \mathsf{p(x)=x^3-ax^2+(x-a)}$

Em x³ - ax², basta colocar x² em evidência para conseguir o nosso binômio. Teremos:

$\mathsf{p(x)=x^3-ax^2+(x-a)}\\\\ \mathsf{p(x)=x^2\cdot(x-a)+(x-a)}$

Como não tem nenhum número visível multiplicando o segundo (x – a), podemos assumir que lá tem o número 1 e completar a fatoração. Teremos:

$\mathsf{p(x)=x^2\cdot(x-a)+(x-a)}\\\\ \mathsf{p(x)=x^2\cdot(x-a)+1\cdot(x-a)}\\\\ \mathsf{p(x)=(x^2+1)\cdot(x-a)}$

Tendo chegado no final da fatoração, falta agora a análise das assertivas.

$\textsf{--------------------------------------------------}$

1. $\mathsf{i=\sqrt{-1}}$ é uma raiz desse polinômio.

Para encontrar as raízes desse polinômio, basta igualar a 0 cada binômio na forma fatorada. Calcularei as raízes do primeiro binômio:

$\mathsf{(x^2+1)=0}\\\\ \mathsf{x^2+1=0}\\\\ \mathsf{x^2=-1}\\\\ \mathsf{x=\pm\sqrt{-1}}$

Com base no que foi mostrado, podemos afirmar que essa assertiva está correta.

$\textsf{------------------------------}$

2. Qualquer que seja o valor de a, p(x) é divisível por x - a.

Correto. A forma fatorada mostra a forma que pode-se dividir os componentes do polinômio, que tem (x – a) em sua composição.

$\textsf{------------------------------}$

3. Para que p(-2) = -10, o valor de a deve ser 0.

Para descobrir, vamos testar. Teremos:

$\mathsf{p(x)=x^3-ax^2+x-a}\\\\ \mathsf{p(-2)=(-2)^3-a(-2)^2+(-2)-a}\\\\ \mathsf{0=-8-a(4)-2-a}\\\\ \mathsf{-10=-8-4a-2-a}\\\\ \mathsf{-10=-8-2-4a-a}\\\\ \mathsf{-10=-10-5a}\\\\ \mathsf{5a=-10+10}\\\\ \mathsf{5a=0}\\\\ \mathsf{a=0\div5}\\\\ \boxed{\mathsf{a=0}}$