Question

ME AJUDEM POR FAVOR
$\int\limits^4_1 {( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} } \, dx$

Answer 1

Uma coisa legal pra não errar na hora de fazer a integral é dividi-la. lembrando que a integral de uma soma é igual a soma das integrais:

Então teremos:

$\int\limits^4_1 {( \sqrt{x} + \frac{1}{ \sqrt{x} } )} \, dx = \int\limits^4_1 {\sqrt{x} } \, dx + \int\limits^4_1 {\frac{1}{ \sqrt{x} } } \, dx \\ \\ \int\limits^4_1 { x^{ \frac{1}{2} } } \, dx + \int\limits^4_1 {\frac{1}{x^{ \frac{1}{2} } } } \, dx \\ \\ \int\limits^4_1 { x^{ \frac{1}{2} } } \, dx + \int\limits^4_1 {x^{ -\frac{1}{2} } } \, dx =( \frac{ x^{ \frac{1}{2}+1 } }{\frac{1}{2}+1} ) + ( \frac{ x^{- \frac{1}{2}+1 } }{-\frac{1}{2}+1} )$

$( \frac{ x^{ \frac{3}{2} } }{\frac{3}{2}} ) + ( \frac{ x^{\frac{1}{2} } }{\frac{1}{2}} ) \\ \\ ( \frac{2 x^{\frac{3}{2}} }{3} )+(2 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{2 \sqrt[2]{ x^{3} } }{3} + 2 \sqrt{x}$

Substituindo pelos limites:

$\frac{2 \sqrt[2]{ x^{3} } }{3} + 2 \sqrt{x} = \frac{2 \sqrt[2]{ 4^{3} } }{3} + 2 \sqrt{4}= \frac{2 \sqrt[2]{ 64 } }{3} + 2 \sqrt{4} = \frac{2 . 8}{3} + 2.2 = \frac{16}{3} +4= \frac{28}{3} \\ \\ \frac{2 \sqrt[2]{ x^{3} } }{3} + 2 \sqrt{x} = \frac{2 \sqrt[2]{ 1^{3} } }{3} + 2 \sqrt{1}= \frac{2 \sqrt[2]{ 1 } }{3} + 2 \sqrt{1} = \frac{2 }{3} + 2 = \frac{8}{3} \\ \\ \frac{28}{3}-\frac{8}{3}=\frac{20}{3}$