Question

determine o ângulo de lançamento de um projétil onde se constatou que a altura obtida nesse lançamento se iguala ao alcance.

Answer 1

Olá,

Vamos deduzir algumas fórmulas. O projétil é lançado com uma velocidade V₀ formando um ângulo θ com a horizontal. Quando ele passa pelo ponto de altura máxima (h), a sua componente Vy é nula. Com base nisso, temos por Torricelli que:
Vy² = V₀y² - 2gH
0 = V₀y² - 2gH
V₀y² = 2gh

Mas V₀y = Vsenθ:
(Vsenθ)² = 2gh
V²sen²θ = 2gh
h = V²sen²θ/2g

Quando o corpo sobe até a altura máxima, ele percorre metade do alcance A em um tempo de subida (t). Assim, ele percorrerá tudo em 2t. Vamos calcular esse tempo:
Pela equação horária da velocidade Vy até a altura máxima, temos:
Vy = V₀y - gt
0 = V₀y - gt
V₀y = gt
Vsenθ = gt
t = Vsenθ/g

Para o alcance teremos:
A = Vx * 2t
A = Vx * 2Vsenθ/g

Mas Vx = Vcosθ:

A = Vcosθ * 2Vsenθ/g
A = 2V²senθcosθ/g

O problema deseja saber o ângulo para quando o alcance é igual à altura, ou seja, A = h:

A = h
2V²senθcosθ/g = V²sen²θ/2g

Simplifica os termos V²senθ e g:

2cosθ = senθ/2
4cosθ = senθ
senθ/cosθ = 4
tgθ = 4

Para saber o ângulo, usamos:
arctgθ = 4
θ ≈ 76°

Bons estudos ;)