Question

Usando a formula de De Louvre, calculando as potências:

Answer 1

Oia eu dnv!

Gosto de números complexos!

Vamos a resolução da letra "a".

a)(1+i)³

Vamos fazer um numero complexo, z=1+i.

Por uma das definições temos que:
$z^n=r^n[Cos(n. \beta )+iSen(n. \beta )]$

Sendo assim vamos procurar o argumento e o modulo de "z" depois substituir e encontrar o resultado..

Pela formula de euler temos que:

$z=r.e^{i \pi }$

$z^n=r^n.e^{i \pi }$

$z^N=r^n.e^{n.i. \pi }$

Modulo de (1+i)

I z I = √2 = r

Argumento 45°

$z^3= \sqrt{2}^3.e^{3.i. \frac{ \pi }{4}}$

$z^3=2 \sqrt{2}.Cos \frac{3 \pi }{4}+i.2 \sqrt{2}.Sen \frac{3 \pi }{4}$

$Z^3=2 \sqrt{2}.Cos 135+i.2 \sqrt{2}.Sen135$

$Z^3=2 \sqrt{2}. \frac{ \sqrt{2} }{2} +i.2 \sqrt{2} \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$z^3=2+2i$

b)
Solução { -972+972i }

c)

(√2+i√2)^7

z=√2+√2i

Modulo de Z=2

Argumento = 45

Sendo assim:

$z^7=2^7.Cos315+i.2^7.Sen315$

$z^7=64 \sqrt{2} -i 64 \sqrt{2}$

d) (-1-√3i)^100

Modulo de Z =2

Argumento sera um angulo cujo seno e o cosseno e igual a - seno de 60°... Ou seja 180+60=240°


$z^{100}=2^{100}.Cos240+2^{100}.Cos240$

$z^{100}= \frac{2^{100}}{2}+ \frac{2^{100}. \sqrt{3} }{2} i$

$z^{100}=2^{99}+2^{99}. \sqrt{3}i$

Espero ter ajudado!