Question

racionalize a expressao 1 sobre raiz cubica de x menos raiz cubica de y

Answer 1

Podemos racionalizar a expressão $\dfrac{1}{ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} }$ multiplicando o numerador e o denominador por $( \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} )$ (lembrando que para raiz quadrada, acontece o mesmo, porém não precisamos adicionar um expoente dentro da raiz) . Desta forma, temos um produto notável da forma $(x+y)(x-y)$ e podemos cancelar a raiz pois o expoente de x e y será o mesmo que o índice da raiz:

$\dfrac{1}{ \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} } \cdot \dfrac{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2}} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[3]{x^3} - \sqrt[3]{y^3}} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2}}{x - y}$

Como podemos ver, basta que o expoente e o índice da raiz sejam iguais para se anularem.
Como raízes são permitidas no numerador, esta expressão está racionalizada.

Answer 2

Resposta:

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} } +\sqrt[3]{x.y} +\sqrt[3]{y^{2} } }{x - y}$

Explicação passo a passo:

Racionalize a expressão, multiplicando o numerador e denominador por

($\sqrt[3]{x^{2} } + \sqrt[3]{x.y} + \sqrt[3]{y^{2} }$)

Então ficaria:

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2} } - \sqrt[3]{y^{2} } } . \frac{\sqrt[3]{x^{2} } + \sqrt[3]{x.y} + \sqrt[3]{y^{2} }}{\sqrt[3]{x^{2} } + \sqrt[3]{x.y} + \sqrt[3]{y^{2} }} =$

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} } +\sqrt[3]{x.y} +\sqrt[3]{y^{2} } }{\sqrt[3]{x^{3} } + \sqrt[3]{x^{2}.y } + \sqrt[3]x.{y^{2} } -\sqrt[3]{x^{2} . y} -\sqrt[3]{x. y^{2} } - \sqrt[3]{y^{3} } }$

Agora é só cortar as raizes com os expoentes, e as raizes que estão repetidas porem com sinais diferentes. Ficando assim

$\frac{\sqrt[3]{x^{2} } +\sqrt[3]{x.y} +\sqrt[3]{y^{2} } }{x - y}$