Question

Uma peça de vidro tem, o formato da figura abaixo supondo-a maciça qual o volume do vidro usado para fazer essa peça
Obs: todos os dados dela é 20 cm

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, devemos separar essa figura em duas partes: um cubo e uma pirâmide.

 

No decorrer do desenvolvimento, usaremos as seguintes fórmulas:

 

$\mathsf{V_{\square}=a^3}\\\\\mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{A_b\cdot h}{3}}\\\\ \mathsf{A_b=A_{\square}=l^2}\\\\ \mathsf{hip^2=cat^2+cat^2~~~\therefore~~~hip^2=b^2+h^2}$

 

Onde:

 

     $\begin{array}{rl}\mathsf{V_{\square}:}&\mathsf{Volume~do~cubo;}\\\mathsf{a:}&\mathsf{Aresta;}\\\\\mathsf{V_{\triangle}:}&\mathsf{Volume~da~pir\hat{a}mide;}\\ \mathsf{A_b:}&\mathsf{\acute{A}rea~da~base;}\\ \mathsf{h:}&\mathsf{Altura;}\\\\ \mathsf{A_{\square}:}&\mathsf{\acute{A}rea~do~quadrado;}\\ \mathsf{l:}&\mathsf{Lado;}\\\\ \mathsf{hip:}&\mathsf{Hipotenusa;}\\ \mathsf{cat:}&\mathsf{Cateto;}\\ \mathsf{b,h:}&\mathsf{Expressos~na~imagem;}\end{array}$

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Vamos iniciar calculando com o volume do cubo. A aresta foi dada na imagem como sendo igual a 20. Teremos:

 

$\mathsf{V_{\square}=a^3}\\\\ \mathsf{V_{\square}=20^3}\\\\ \mathsf{V_{\square}=20\cdot20\cdot20}\\\\ \mathsf{V_{\square}=400\cdot20}\\\\ \mathsf{V_{\square}=8.000}$

$\textsf{--------------------------------------------------}$

 

Agora, vamos aos cálculos do volume da pirâmide. O primeiro passo é calcular a altura.

 

Na fórmula que citei no início, o valor de b corresponde à metade da diagonal do quadrado da base, enquanto a hipotenusa é a medida da aresta (ou seja, 20). 

 

Vamos aos cálculos da diagonal, que chamarei de d, usando o Teorema de Pitágoras. Teremos:

$\mathsf{hip^2=cat^2+cat^2}\\\\ \mathsf{d^2=20^2+20^2}\\\\ \mathsf{d^2=400+400}\\\\ \mathsf{d^2=800}\\\\ \mathsf{d=\sqrt{800}}$

Fatorando o 800, para buscar a forma resumida da raiz, teremos:

$\begin{array}{rcl} 800&|&2\\ 400&|&2\\ 200&|&2\\ 100&|&2\\ 50&|&2\\ 25&|&5\\ 5&|&5\\ 1&|& \end{array}~~~\therefore~~~\sqrt{800}=\sqrt{2^4\cdot2\cdot5^2}=20\sqrt2$

Tendo a diagonal, vamos calcular a metade dela. Teremos:

$\mathsf{d=20\sqrt{2}}~~~~\begin{cases}\mathsf{\dfrac{d}{2}=\dfrac{20\sqrt2}{2}}\\\\\mathsf{\dfrac{d}{2}=10\sqrt2}\\\\\mathsf{b=10\sqrt2}\end{cases}$

Agora, precisamos calcular a altura da pirâmide, onde podemos usar o Teorema de Pitágoras novamente.

 

$\mathsf{hip^2=cat^2+cat^2}\\\\ \mathsf{20^2=h^2+\left(10\sqrt2\right)^2}\\\\ \mathsf{400=h^2+\left(100\cdot2\right)}\\\\ \mathsf{400=h^2+\left(200\right)}\\\\ \mathsf{h^2=400-200}\\\\ \mathsf{h^2=200}\\\\\mathsf{h=\sqrt{200}}$

Simplificando a raiz de 200, teremos:

$\begin{array}{rcl} 200&|&2\\ 100&|&2\\ 50&|&2\\ 25&|&5\\ 5&|&5\\ 1&| \end{array}~~~\sqrt{200}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot5^2}=10\sqrt{2}$

Agora, vamos calcular a área da base, que é um quadrado com lado igual a 20. Teremos:

 

$\mathsf{A_b=A_{\square}=l^2}\\\\ \mathsf{A_b=l^2}\\\\ \mathsf{A_b=20^2}\\\\ \mathsf{A_b=400}$

 

Agora, vamos aos cálculos do volume da pirâmide. Teremos:

 

$\mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{A_b\cdot h}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{400\cdot10\sqrt{2}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\triangle}=\dfrac{4.000\sqrt{2}}{3}}$

 

Para saber o volume total da peça de vidro, basta somarmos os volumes. Teremos:

 $\mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}=8.000+\dfrac{4.000\sqrt{2}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}=\dfrac{3}{3}\cdot8.000+\dfrac{4.000\sqrt{2}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}=\dfrac{3\cdot8.000}{3}+\dfrac{4.000\sqrt{2}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}=\dfrac{24.000}{3}+\dfrac{4.000\sqrt{2}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}=\dfrac{24.000+4.000\sqrt{2}}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}=\dfrac{1.000\left(24+4\sqrt2\right)}{3}}$

 

Assumindo 1,41 como o valor de raiz de 2, podemos ter um valor aproximado. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}=\dfrac{1.000\left(24+4\sqrt2\right)}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}\approx\dfrac{1.000\left(24+4\cdot1,41\right)}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}\approx\dfrac{1.000\left(24+5,64\right)}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}\approx\dfrac{1.000\left(29,64\right)}{3}}\\\\\\ \mathsf{V_{\square}+V_{\triangle}\approx\dfrac{29.640}{3}=9.880cm^3}$

 

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.