Question

Seja A um conjunto com 12 elementos e B um conjunto com 5 elementos. Sabe-se, ainda, que o número de elementos comuns aos conjuntos A e B é um terço dos elementos de A.

Qual é a quantidade de elementos de A U B?

Answer 1

Do enunciado temos:

$\begin{cases}\mathsf{n\,(A)=12}\\ \\ \mathsf{n\,(B)=5}\\ \\ \mathsf{n\,(A\cap B)=\dfrac{n\,(A)}{3}=\dfrac{12}{3}=4} \end{cases}$

Com isso, podemos montar um Diagrama de Venn para facilitar a análise e descobrir a quantidade de elementos que só pertencem ao conjunto A e, também, os que só pertencem ao conjunto B (ANEXO).

Queremos encontrar A ∪ B. Isso equivale a somar a quantidade de elementos que só pertencem a A com a quantidade de elementos que só pertencem a B.

Com isso, teremos:

$\mathsf{n\,\big(A\,\cup\,B\big)=(12-4)+(5-4)} \\ \\ \\ \mathsf{n\,\big(A\,\cup\,B\big)=8+1\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\boxed{\mathsf{n\,(A\,\cup\,B)=9}}}$
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NOTA: Como existe 4 elementos comum aos conjuntos, os 12 elementos de A são os elementos de A mais os elementos da intersecção de A com B. O mesmo ocorre para os 5 elementos de B. Como o enunciado pede somente a união entre A e B, devemos remover a quantidade de elementos comum aos conjuntos.