Question

Demonstre as identidades a seguir:

a) (cosx+cosy)/(senx-seny)=(senx+seny)/(cosx-cosy)

b) (cotgx+cotgy)/ (tgx+tgy)= cotgx.cotgy

Answer 1

a)
vamos chamar :
cosx = a
cosy = b
senx = c
seny = d

$\frac{(a + b)}{(c-d)} = \frac{(c+d)}{(a-b)}$
produto dos meios igual ao produto dos extremos
(a+b).(a-b) = (c-d).(c+d)
a² - ab +ab - b² = c² + cd - cd - d²
a² - b² = c² - d²
cosx² - cosy² = senx² - seny²
lembre-se:
cosx² = 1 - senx² ou a² = 1 - c²
cosy² = 1 - seny² ou b² = 1 - d²

1 - c² - (1 - d²) = c² - d²
1 - c² - 1 + d² = c² - d²
d² + d² = c² + c²
2d² = 2c²
d = c
senx = seny
só é verdade se x = y
b)
vamos chamar:
tgx = a
tgy = b
cotgx = c
cotgy = d

$\frac{(c+d)}{(a+b)} =c.d$
(c+d) = (a+b).cd
(c+d) = a.c.d + b.c.d

lembre-se
cotg = 1/tg

cotgx = 1/tgx ou a.c = 1
cotgy = 1/tgy ou b.d = 1

(c+d) = d +c
cotgx + cotgy = cotgx + coty