Question

O numero N=.... e um decimal ilimitado periodico. Se N for escrito sob a forma de fraçao irredutivel a/b entao determina a+b

Answer 1

Você tem que arranjar um jeito de deixar aquele denominador mais bonito....
Você pode tentar buscar um trinômio quadrado perfeito, ou usar radical duplo ( tem na net)....
Dá pra observar que 32+10√7 é 25 + 10√7 + 7, daí dá pra ver que isso é igual a : (5+√7)².... Mesma coisa com o outro denominador, que é (5-√7)²... Como estão numa raiz, cortando o quadrado o número sai em módulo...

fica assim N = 1/(5+√7) + 1/(5-√7)  ( Lembre que é 5-√7 e não √7 -5 , pois, como sai em módulo, o número deve ser positivo...

Depois tu deixa as frações com o mesmo denominador ( tira o mmc )... 
Vai ficar assim 

N=10/18, só que ela não é irredutível pois podemos simplificá-la por 2...
N=5/9, isso é uma fração irredutível e geratriz de uma dízima periódica  ( 0,5555....), Como N = a/b  e ele quer a+b então a resposta é 5+9= 14 

Resposta= 14

Answer 2

Vamos determinar completar quadrados para eliminar a raiz dos denominadores:
$32+10\sqrt{7}=32+2\cdot5\sqrt{7}=25+7+2\cdot5\sqrt{7}\\ \\ =25+\big(\sqrt{7}\big)^{2}+ 2\cdot5\sqrt{7}=25+ 2\cdot5\sqrt{7}+\big(\sqrt{7}\big)^{2} \\logo,\ \\ 32+10\sqrt{7}=\big(5+\sqrt{7}\big)^{2}$

$32-10\sqrt{7}=32-2\cdot5\sqrt{7}=25+7-2\cdot5\sqrt{7}\\ \\ =25+\big(\sqrt{7}\big)^{2}- 2\cdot5\sqrt{7}=25- 2\cdot5\sqrt{7}+\big(\sqrt{7}\big)^{2} \\logo,\ \\ 32-10\sqrt{7}=\big(5-\sqrt{7}\big)^{2}$

$N= \frac{1}{\sqrt{32+10\sqrt{7}}}+ \frac{1}{\sqrt{32-10\sqrt{7}}}\\ \\N= \frac{1}{\sqrt{{\big(5+\sqrt{7}}\big)^{2}}}+ \frac{1}{\sqrt{{\big(5-\sqrt{7}}\big)^{2}}}}\\ \\N= \frac{1}{5+\sqrt{7}}}+ \frac{1}{5-\sqrt{7}}}\\ \\N= \frac{5-\sqrt{7}}{(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})}}+ \frac{5+\sqrt{7}}{(5+\sqrt{7})\cdot(5-\sqrt{7})}}\\ \\N= \frac{5-\sqrt{7}}{5^{2} -\big(\sqrt{7}\big)^{2}} +\frac{5+\sqrt{7}}{5^{2} -\big(\sqrt{7}\big)^{2}}$

$\\ \\N= \frac{5-\sqrt{7}}{25 -7} +\frac{5+\sqrt{7}}{25 -7} \\ \\N= \frac{5-\sqrt{7}}{18} +\frac{5+\sqrt{7}}{18} \\ \\N= \frac{5-\sqrt{7}+5+\sqrt{7}}{18} \\ \\N= \frac{10^{:2} }{18_{:2}} \\ \\N= \frac{5}{9}$
Nessa fração, a = 5 e b = 9, logo:
a + b = 5 + 9 = 14