Question

Considerem o cubo ABCDEFGH

a) Quantos triângulos têm vértices em três dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H?( Dica: Cada escolha dos três vértices é uma combinação dos vértices do cubo)

b) Escolhendo-se, ao acaso, um dos triângulos descritos no item A, qual é a probabilidade de que ele esteja contido em uma das faces do cubo?

Answer 1

Ambas as alternativas do enunciado tratam de analise combinatória, onde vamos utilizar a seguinte fórmula:

C n,p = n! / p! * (n - p)!


a) A combinação é feita com 8 vértices, tomados 3 a 3. Então:

C 8,3 = 8! / 3! * (8 - 3)!
C 8,3 = 8! / 3! * 5!
C 8,3 = 8*7*6*5! / 3! * 5!
C 8,3 = 8*7*6 / 3*2*1

C 8,3 = 56

Portanto, existem 56 triângulos com pontos nos vértices do cubo.


b) Primeiramente, vamos calcular quanto triângulos podem ser feitos dessa maneira em uma face:

C 4,3 = 4! / 3! * 1!
C 4,3 = 4

Logo, em cada face podem ser feitos 4 triângulos. Uma vez que o cubo possui 6 faces, existem 24 triângulos possíveis.

Agora, podemos calcular a probabilidade:

P = 24/56 = 3/7 = 42,86%

Portanto, existem 3/7 chances de escolher um triângulo contido em uma das faces.