Question

. Mostre, usando um triˆangulo retˆangulo com lados a, b e c, a rela¸c˜ao fundamental da trigonometria: sin ² (θ) + cos ² (θ) = 1.

Answer 1

Veja a figura anexada à solução.

O triângulo retângulo ABC apresenta o ângulo reto em A. Pelo Teorema de Pitágoras:

$b^2+c^2=a^2$

Dividindo os dois lados da equação por a²:

$\dfrac{b^2+c^2}{a^2}=\dfrac{a^2}{a^2}\\\\ \dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{c^2}{a^2}=1\\\\ \left(\dfrac{b}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a}\right)^2=1~~~(i)$

Agora, observe na figura que:

$\sin(\theta)=\dfrac{b}{a}~~~~~~~\text{e}~~~~~~~\cos(\theta)=\dfrac{c}{a}$

Substituindo em (i):

$\left(\dfrac{b}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a}\right)^2=1\\\\ \left(\sin(\theta)\right)^2+\left(\cos(\theta)\right)^2=1\\\\ \boxed{\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1}$

Como queríamos demonstrar.    $\blacksquare$