Question

No desenvolvimento do binômio (x+1/x)^6n

Answer 1

Pelo desenvolvimento do binómio de Newton, temos:
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n ^nC_k a^k b^{n-k}$

Assim, tomando $a=x$ e $b = \frac{1}{x}$ é substituindo $n$ por $6n$, obtemos:
$(x+\frac{1}{x})^{6n} = \sum_{k=0}^{6n} ^{6n}C_k x^k (\frac{1}{x})^{6n-k}$

Pelas propriedades das potências, sabemos que:
$x^k (\frac{1}{x})^{6n-k} = x^k (x^{-1})^{6n-k} =x^k x^{k-6n} = x^{2k-6n}$
Logo, o desenvolvimento é:
$(x+\frac{1}{x})^{6n} = \sum_{k=0}^{6n} ^{6n}C_k x^{2k-6n}$

O termo independente de $x$ será aquele cujo expoente é nulo, pelo que:
$2k-6n=0 \iff 2k=6n \iff k=3n$

Como tal, o termo independente reduz-se a:
$^{6n}C_{3n} \implies \textrm{op\c{c}\~{a}o (C)}$