Question

Qual a Integral (1/1+×^2 + ×^2) dx?
(Lembrando que esse outro x^2 está na parte de cima do lado do 1, porém não na mesma fração).

Answer 1

Relação trigonométrica usada: Se θ é um ângulo, então sec²θ = 1 + tg²θ
_______________________________

$\mathsf{\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^{2}}+x^{2}\,dx=\int\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx+\int x^{2}\,dx}$

Uma das integrais é fácil de ser calculada:

$\mathsf{\displaystyle\int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+c_{1}=\dfrac{x^{3}}{3}+c_ {1}}$

A outra envolve uma substituição "estranha" (se você não lembrar a derivada da arco tangente)

Faça $\mathsf{x=tg\,u\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,dx=sec^{2}u\,du}$

Com isso,

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx=\int\dfrac{1}{1+(tg\,u)^{2}}\,sec^{2}u\,du}\\\\\\\mathsf{=\int\dfrac{1}{1+tg^{2}u}\,sec^{2}u\,du}\\\\\\\mathsf{=\int\dfrac{1}{sec^{2}u}\,sec^{2}u\,du}\\\\\\\mathsf{=\int1\,du}\\\\\\\mathsf{=u+c_{2}}$

Mas $\mathsf{x=tg\,u\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,arctg\,x=u}$

$\therefore\,\,\,\,\boxed{\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx=arctg\,x+c_{2}}}$


Logo:

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{1}{1+x^{2}}+x^{2}\,dx=\big(arctg\,x+c_{2}\big)+\bigg(\dfrac{x^{3}}{3}+c_{1}\bigg)}\\\\\\\mathsf{\int\dfrac{1}{1+x^{2}}+x^{2}\,dx=arctg\,x+\dfrac{x^{3}}{3}+(c_{1}+c_{2})}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{\int\dfrac{1}{1+x^{2}}+x^{2}\,dx=arctg\,x+\dfrac{x^{3}}{3}+c}}}$
________________________________

Para simplificar, tenha em mente a derivada da arco tangente:

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}arctg\,x=\dfrac{1}{1+x^{2}}\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx=arctg\,x+c}$

Essa derivada pode ser encontrada via derivação implicita:

$\mathsf{y=arctg\,x\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,x=tg\,y}$

Derivando os dois lados em relação a x:

$\mathsf{1=\dfrac{d}{dx}tg\,y}\\\\\\\mathsf{1=sec^{2}y\,\dfrac{dy}{dx}}\\\\\\\mathsf{\therefore\,\,\,\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{sec^{2}y}}$

Sabemos que $\mathsf{1+tg^{2}\phi=sec^{2}\phi}$, então

$\mathsf{sec^{2}y=1+tg^{2}y=1+x^{2}}$

$\therefore\,\,\,\boxed{\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+x^{2}}}}$

Answer 2

Primeiramente, podemos separar as integrais da seguinte forma:

$\int\limits { \frac{1}{1+x^2}+x^2 } \, dx \\\\ = \int\limits { \frac{1}{1+x^2} \, dx+\int\limits {x^2} \, dx$

Agora, vamos calcular as integrais separadamente.

O método utilizado será a substituição trigonométrica, e como temos a integral na forma a² + x², a substituição será x = a . tg(θ):

$\int\limits { \frac{1}{1+x^2} } \, dx \\\\ x = tg(x), dx = sec^2(\theta)\, d\theta \\\\ = \int\limits { \frac{1}{1+tg^2(\theta)} }sec^2(\theta) \, d\theta \\\\ = \int\limits { \frac{1}{sec^2(\theta)} }sec^2(\theta) \, d\theta \\\\ = \int\limits {1} \, d\theta \\\\ = \theta$

Agora que temos a integral já pronta, precisamos encontrar θ, da seguinte maneira:

x = tg(θ)

arctg(x) = arctg(tg(θ))

arctg(x) = θ

Arco-tangente de x é a função denotada por arctg(x), sendo assim a função inversa da tangente de x, denotada por tg(x). Concluímos então que:

$\int\limits { \frac{1}{1+x^2} } \, dx = arctg(x)$

Agora, calculando a segunda integral:

$\int\limits {x^2} \, dx \\\\ = \frac{x^{2+1}}{2+1} \\\\ = \frac{x^3}{3}$

Então, agrupamos os resultados de ambas integrais:

$\int\limits { \frac{1}{1+x^2}+x^2 } \, dx = arctg(x) + \frac{x^3}{3} + C$

Obs. 1: As duas integrais geram uma constante C de integração, mas como foram calculadas separadamente, podemos representar as duas constantes como apenas uma constante no final do cálculo;

Obs. 2: A primeira integral aparece com bastante frequência, então podemos usar o seu resultado já pronto, dessa maneira:

$\int\limits { \frac{1}{a^2+x^2} } \, dx = \frac{1}{a} arctg( \frac{x}{a} )$

Tenha cuidado, pois na integral temos a², e na resposta temos apenas a, logo, é necessário efetuar a raiz quadrada para obtermos o valor correto;

Obs. 3: A identidade usada na substituição trigonométrica foi a seguinte: 1 + tg^2(x) = sec^2(x).

Espero ter ajudado.