Question

Considere a = 3,456789456789

a) O número é racional ou irracional? Justifique.
b) Encontre um número irracional b, tal que 86/25 < b < a.

Answer 1

Olá para resolver a questão você deve saber que:

Os números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração, com um denominador e numero diferente de zero.
Do mesmo modo, todos os decimais repetidos se enquadram na categoria de números racionais. Qualquer número racional pode ser representado em uma linha numérica.


Por outro lado, os números irracionais são o oposto dos números racionais (como o nome indica). Ou seja, eles não podem ser expressos como uma fração com denominadores que não são zero. Eles só podem ser expressos como o quociente de dois inteiros.
É importante mencionar que muitas raízes quadradas, cúbicas, etc,  caem na categoria de números irracionais.


Então, sabendo isso, temos que:


1-  A = 3,456789456789. É número é racional ou irracional?

Ao observar o valor de a, pode-se saber que ele pode ser escrito em forma de fração, o que significa que ele é um número racional. Existem diferentes maneiras de representarlo, porque como o valor não é limitado, podemos interpretar isso de duas maneiras:
 
- Como um decimal exato: tem um número finito de dígitos, quando é representado por uma soma com número finito de parcelas.

- Como uma dízima periódica: Um número decimal infinito.

Assim $A= 3,456789456789$ pode-se representar nas siguientes frações.


1- $A= \frac{345.678.945}{100.000.000} = \frac{69.135.798}{20.000.000}$

2- $A = \frac{1.152.262}{333.333}$

3- $A = 3+ \frac{456.789}{999.999} = \frac{3.456.786}{999.999}$



Agora, na questão B- Um número irracional b, tal que $\frac{86}{25} \ \textless \ b \ \textless \ a$


Então, primeiro temos que resolver a fração para saber qual é o numero exato, assim:

$\frac{86}{25} = 3,44$

Com isso podese afirmar que $a \ \textgreater \ \frac{86}{25}$ porque
 
$3,45678945 \ \textgreater \ 3,44.$


Para encontrar o numero b irracional, você tem que supor um valor que satisfaça a inequação. Logo tem que elevar esse valor ao quadrado, colocando o  resultado dentro de uma raiz. Temos que:


$3,45678945 \ \textgreater \ b \ \textgreater \ 3,44$

Assim podese supor que b = 3,455 porque satifaz a inequação.

Agora,

$3,455^{2} = 11,937025$ ≈ 11,94

$\sqrt{11,94} = 3,455430508634199...$ 

Assim temos a  uma dízima não periódica, que satisfaz a questão.

$3,45678945 \ \textless \ b \ \textless \ a$


$3,45678945 \ \textless \ \sqrt{11,94} \ \textless \ 3,44$