Question

(UAM) Sabendo-se que cotg 2α = -3/4 e que α está no primeiro quadrante, então sen α e cos α são respectivamente:

A) √3/5 e √2/5
B) 2/√5 e 1/√5
C) 4/5 e 3/5
D) 1/3 e 1/8
E) 1/2 e 3/2

// o gabarito fala que é alternativa "B", mas não consigo desenvolver o cálculo.

Answer 1

Pra desenvolver a conta fica muito grande, mas tive uma ideia melhor:

cotg(2a) = -3/4
tg (2a) = -4/3
sen(2a)/cos(2a) = -4/3
sen(2a) = -4.cos(2a)/3

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sen²(2a) + cos(2a)² = 1
(-4.cos(2a)/3)² + cos²(2a) = 1
16cos²(2a)/9 + cos²(2a) = 1
16cos²(2a} + 9cos²(2a) = 9
25cos²(2a) = 9
cos²(2a) = 9/25
cos(2a) = 3/5 ou -3/5

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sen(2a) = -4.cos(2a)/3
sen(2a) = (-4.3/5)/3
sen(2a) = -12/15
sen(2a) = -4/5 ou 4/5

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No primeiro quadrante o seno e o cosseno são positivos:

sen(2a) = 4/5
2.sen(a).cos(a) =4/5
sen(a).cos(a) = 4/10

cos(2a) = 3/5
cos²(a) - sen²(a) = 3/5
cos²(a) = 3/5 + sen²(a)

Então:

cos²(a) + sen²(a) = 1
3/5  + sen²(a) + sen²(a) = 1
3 + 5sen²(a) + 5sen²(a) = 5
10sen²(a) = 2
sen²(a) = 1/5
sen(a) = 1/√5


sen²(a) + cos²(a) = 1
1/5 + cos²(a) = 1
cos²(a) = 1 - 1/5
cos²(a) = 4/5
cos(a) = 2/√5