Question

1)Considere a função (f) real da variação real , definida por:
f(x)=(x²-1)(x-4)

a) quantos zeros tem a função?

b) quantos zeros tem a função sendo g(x)=f(|x|)

2) Construa os gráficos
a) g(x)=|-x-2|
b) g(x)=|x²-1|

3) resolva a equação com módulo
a) |-2x+1|=2|1-x|.

Answer 1

1) a) tem 3 zeros {-1,1,4} ----------veja anexo
    b) tem os mesmos zeros da função acima -------------------- veja anexo

2) Construa os gráficos:
    a) e b)  -----------veja anexo

3) |-2x + 1| = 2|1-x|

Solução em anexo

6904202fcb6de5ed03b67c26fecca702.doc

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Estudosa, que a resolução é mais ou menos simples. É um pouco trabalhosa, pois são muitas questões numa só mensagem.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

1ª questão: Considere a função (f) real da variação real , definida por:
f(x)=(x²-1)(x-4)

a) quantos zeros tem a função?

Veja: para sabermos quantos zeros tem essa função, então vamos igualá-la a zero. Assim, teremos:

(x²-1)*(x-4) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então iremos ter as seguintes possibilidades:

ou
x²-1 = 0 ---> x² = 1 ---> x = √(1) --> x = ±√(1) ---> x' = -1; e x'' = 1

ou
x-4 = 0 ---> x''' = 4.

Assim, a função dada tem 3 raízes, que são estas:

x' = -1; x'' = 1 e x''' = 4 <-- Portanto são 3 raízes (ou 3 zeros, o que é a mesma coisa). Esta é a resposta para o item"a" da 1ª questão.

b) quantos zeros tem a função sendo g(x)=f(|x|)

Aqui faremos isto, pois g(x) = |f(x)|:

g(x) = |(x²-1)*(x-4)|

Note que aqui, ao colocarmos as condições de existência de funções modulares, iremos ver que a resposta é a mesma. Veja:

b.i) Para (x²-1)*(x-4)≥0, teremos:

(x²-1)*(x-4) ≥ 0 ---- como já vimos que x' = -1; x'' = 1; e x''' = 4, quando a fizemos igual a "0", então estariam valendo essas três raízes que já encontramos para a função original.

b.ii) Para (x²-1)*(x-4) ≤ 0, iriam também valer as três raízes que já encontramos para função original, quando a fizemos igual a zero.

Logo, a função g(x) = |(x²-1)*(x-4)| terá também três raízes, que serão as mesmas já encontradas (quando fizemos f(x) = 0, originalmente), e que são estas: x' = -1; x'' = 1; e x''' = 4.

2ª questão: construa os gráficos das seguintes equações modulares:

a) f(x) = |-x-2|
e
b) g(x) = |x²-1|.

Como aqui no Brainly eu não sei construir gráficos, então veja os gráficos dessas duas funções (num só sistema de eixos cartesianos) no endereço abaixo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Graphic+%7Bf(x)+%3D+%7C-x-2%7C,+g(x)+%3D+%7Cx%C2%B2-1%7C%7D

São dados 3 gráficos equivalentes. Fixe-se no 2º gráfico das duas funções pois está melhor de ver.

3ª questão: resolva a equação com módulo abaixo transcrita:

 |-2x+1|=2|1-x|

Vamos para as condições de funções modulares:

iii.1) Para (-2x+1) ≥ 0 e |1-x) ≥ 0, iremos ter isto:

(-2x+1) = 2*(1-x) ---- desenvolvendo, teremos:
-2x + 1 = 2 - 2x ---- passando "-2x" para o 1º membro e passando "1" para o 2º membro, iremos ficar assim:

- 2x + 2x = 2 - 1
0 = 1 <--- Absurdo. Logo, descartaremos a hipótese de ambos os membros serem maiores ou iguais a zero.

iii.2) Para (-2x+1) ≥ 0 e |1-x) < 0, iremos ter isto:

(-2x+1) = 2*[-(1-x)]
-2x + 1 = 2*(x-1)
-2x + 1 = 2x - 2 --- passando "2x" para o 1º membro e "1" para o 2º membro, teremos:

-2x - 2x = - 2 - 1
- 4x = - 3 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
4x = 3
x = 3/4 <--- Esta é uma resposta válida para "x".

iii.3) Para (-2x+1) ≤ 0 e (1-x) ≥ 0, iríamos ter isto:

-(-2x+1) = 2*(1-x) ---- desenvolvendo, temos:
2x - 1 = 2 - 2x ---- passando-se "-2x" para o 1º membro e "-1" para o 2º, teremos:

2x + 2x = 2 + 1
4x = 3
x = 3/4 <--- Note que encontramos a mesma raiz da simulação anterior, significando dizer que esta raiz é, realmente, válida.

iii.4) Finalmente para (-2x+1) ≤ 0 e (1-x) ≤ 0, iríamos ter isto:

- (-2x+1) = 2*[-(1-x)] ---- desenvolvendo, teremos:
2x - 1 = 2*(x-1) ----- continuando desenvolvendo, temos;
2x - 1 = 2x - 2 --- passando "2x" para o 1º membro e "-1" para o 2º, temos:
2x - 2x = - 2 + 1
0 = - 1 <--- Absurdo. Logo, também descartaremos esta hipótese.

iii.5) Logo, como você viu, só há uma raiz válida  (ou um zero válido) para a função modular da 3ª questão, que é esta:

x = 3/4 <--- Esta é a resposta para 3ª questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.