Question

2 – Determinar a área das regiões delimitadas pelas curvas.

$y= x^{3} -x$ e y=0

Answer 1

$f(x) = x^3-x$

$g(x) = 0$
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o intervalo será quando
$f(x) = g(x)\\\\x^3-x= 0$

solução dessa equação
 x=-1 ou x=0..ou x=1
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observando o comportando da função f(x) nesse intervalo

para x = 0,5
$f(0,5) = 0,5^3 - 0,5 \\\\f(0,5) =-0,375$

então vc deve calcular duas areas
uma vai de -1 a 0
a outra vai de 0 a 1
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no intervalo de -1 a 0
observando o comportamento da função f(x)
calculando para x= -0,5
$f(-0,5) = -0,5^3 - (-0,5) = 0,375$
e 0 é menor que 0,375
a função f(x) limita a area por cima
e a função g(x) limita por baixo
area = função que limita por cima - função que limita por baixo
$\int\limits^0_{-1} {x^3-x-0} \, dx =\\\\\\ =| \frac{x^4}{4}- \frac{x^2}{2}|^0 _{-1} \\\\\ = (0 - ( \frac{(-1)^4}{4}- \frac{(-1)^2}{2}) ) = \frac{1}{4}$
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na segunda area que vai de 0 a 1

f(0,5) = -0,375

como g(x) é sempre 0
 ..e 0 é maior que -0,375

a reta g(x)  limita a reta por cima
e a curva f(x)  limita a reta por baixo

a área será  função que limita por cima - função que limita por baixo

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$\int\limits^1_0 {0 - (x^3-x)} \, dx \\\\= \int\limits^1_0 {-x^3+x} \, dx\\\\=| \frac{-x^4}{4} + \frac{x^2}{2}|^1_0 \\\\ = ( \frac{-(1)^4}{4}+ \frac{1^2}{2}) - ( \frac{-0^4}{4}- \frac{0^2}{2}\\\\ = \frac{-1}{4}+ \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

area total = $\frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = 2$