Question

Seja real tal que . O valor de é a) (V3- 1) / 2. b) ( 1 -V3) / 2. c) (V5- 1) / 2. d) ( 1 -V5) / 2.

Answer 1

Considerando que tan x = sen x / cos x, podemos dizer que:

$cos(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$
$cos^{2}(x) = sen(x)$

Considerando a equação fundamental da trigonometria, temos:

$cos^{2}(x) + sen^{2}(x) = 1$

Substituindo, temos:

$sen(x) + sen^{2}(x) = 1$

Encontramos, portanto uma equação de segundo grau com sen(x) como incógnita. Logo:

$sen^{2}(x) + sen(x) -1= 0$

Fazendo o discriminante $\Delta$ temos:

$\Delta = 1^{2} - 4*1*(-1)$

$\Delta = 5$

Portanto, o valor de sen(x) será:

$sen(x) = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Como os valores de sen x serão sempre -1≤ sen x ≤ 1, temos que:

$sen(x) = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

Espero ter ajudado. Bons estudos.