Question

Calcule o número de diagonais de um poliedro convexo com 6 faces hexágonais e 3 faces quadrangulares.

Answer 1

✅ Após ter terminado de resolver os cálculos, concluímos que o número de diagonais do referido poliedro é:

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf D = 52\:\:\:}} \end{gathered} }$

Para calcular o número de diagonais "D" de um poliedro podemos utilizar a seguinte fórmula:

1ª             $\Large\displaystyle\begin{gathered}D = \frac{v(v - 1)}{2} - A - S \end{gathered}$

Onde:

           $\Large\begin{cases}v = N\acute{u}mero\:v\acute{e}rtices\\A = N\acute{u}mero\:aresta\\S = Soma\:diagonais\:faces\end{cases}$

Se nos foi dado:

             $\Large\begin{cases}Faces\:hexagonais = 6\\Faces\:quadrangulares = 3 \end{cases}$

Agora temos que:

• Encontrar o número de arestas:

         Sabendo que o número de lados do poliedro é igual ao dobro do número de arestas, então temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}n = 2A \end{gathered}$

      Então:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}6\cdot6 + 3\cdot4 = 2A \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}36 + 12 = 2A \end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}48 = 2A \end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \frac{48}{2} \end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = 24 \end{gathered}$

• Encontrar a soma das diagonais de todas as faces:

         Sabendo que o número de diagonais de um polígono pode ser obtido pela fórmula:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}d = \frac{n(n - 3)}{2} \end{gathered}$

        A soma das diagonais de todas as faces é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}S = 6\cdot\Bigg(\frac{6\cdot(6 - 3)}{2}\Bigg) + 3\cdot\Bigg(\frac{4\cdot(4 - 3)}{2}\Bigg) \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 6\cdot\Bigg(\frac{6\cdot3}{2} \Bigg) + 3\cdot\Bigg(\frac{4\cdot1}{2} \Bigg) \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 6\cdot\Bigg(\frac{18}{2} \Bigg) + 3\cdot\Bigg(\frac{4}{2} \Bigg) \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 6\cdot9 + 3\cdot2 \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 54 + 6 \end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 60 \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:S = 60 \end{gathered}$

• Calcular o número de faces:

         O número de faces é:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}F = 6 + 3 = 9 \end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:F = 9 \end{gathered}$

• Calcular o número de vértices:

         Sabendo que a relação de Euler diz:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}V - A + F = 2 \end{gathered}$

         Então , temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}V - 24 + 9 = 2 \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}V = 2 + 24 - 9 \end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}V = 17 \end{gathered}$

• Calcular o número de diagonais do poliedro:

         Aplicando as variáveis encontradas na 1ª equação, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}D = \frac{17(17 - 1)}{2} - 24 - 60 \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{17\cdot16}{2} - 84 \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{272}{2} - 84 \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 136 - 84 \end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 52 \end{gathered}$

✅ Portanto, o número de diagonais do referido poliedro é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}D = 52 \end{gathered}$

Saiba mais:

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