Question

no centro de uma praça deve ser pintada uma linha com formato de poligono regular não convexo. Se os vertices pertencem as circunferencias de raios 4m e 2m

Answer 1

Completando a questão:

"respectivamente, o comprimento total da linha a ser pintada, em metros, é igual a:

a) 5 - 2√2
b) $8(\sqrt{5-\sqrt{2}})$
c) $16(\sqrt{5-\sqrt{2}}$
d) $4(\sqrt{5-2\sqrt{2}})$
e) $16(\sqrt{5-2\sqrt{2}})$"

Como a circunferência foi dividida em 8 partes, então o ângulo central é igual a $\frac{360}{8} = 45$.

Observe o triângulo ΔABC da figura abaixo.

Usando a Lei dos Cossenos, vamos calcular o lado BC:

BC² = 2² + 4² - 2.2.4.cos(45)
$BC^2 = 4 + 16 - 2.8.\frac{\sqrt{2}}{2}$
BC² = 20 - 8√2
BC² = 4(5 - 2√2)
$BC = \sqrt{4(5-2\sqrt{2})}$
$BC = 2\sqrt{5-2\sqrt{2}}$

Perceba que a figura montada possui 8 lados.

Portanto, o comprimento total da linha a ser pintada é de $16\sqrt{5-2\sqrt{2}}$.

Alternativa correta: letra e).