Question

A respeito de um triângulo ABC, sabe-se que: M(1, -3/2) é ponto médio de BC , dAB=9, dAC=12, C(1,6). Determine as coordenadas de A , sabendo elas são números reais negativos

Answer 1

Boa noite

Se  M (1 , -3/2) é ponto médio de B(x,y)  e  C(1,6)  então :

$\dfrac{x+1}{2}= 1 \Rightarrow x+1=2 \Rightarrow x=1 \\ \\ \dfrac{y+6}{2}=- \dfrac{3}{2} \Rightarrow y+6=-3 \Rightarrow y =-9$

e  as coordenadas de de B  são  B(1,-9)

A circunferência de centro em B e que passa por  A  tem raio 9 e equação :

(x-1)²+(y+9)²= 9² ⇒x²-2x+1+y²+18y+81=81 ⇒ x²+y²-2x+18y+1=0

A circunferência de centro em C e que passa por A tem raio 12 e equação :

(x-1)²+(y-6)²=12² ⇒ x²-2x+1+y²-12y+36=144⇒x²+y²-2x-12y-107=0

A interseção das circunferências nos dá as coordenadas de A

x²+y²-2x+18y+1=x²+y² -2x-12y-107 ⇒18y+1=-12y-107⇒30y=-108

y =  -108 /30  ⇒ y = - 3,6

Voltando em uma equação   

(x-1)²+(-3,6+9)²=9²⇒x²-2x+1+5,4²=81 ⇒x² -2x +1+29,16 - 81=0

x² - 2x -50,84=0      →      Δ = 207,36        →  √ 207,36 = 14,4

x' = ( 2-14,4 ) / 2  = - 12,4 / 2 ⇒ x' = -6,2

As coordenadas de A  são    A( -6,2 ; -3,6 )

Answer 2

Resposta:

Seja o triângulo ABC de vértices nos pontos A(x, y), B(a, b) e C(1, 6), tal que M(1, -3/2) é ponto médio do segmento de reta BC. Calcule x e y, sabendo que A está localizada no terceiro quadrante. Dados: Medida do segmento de reta AB = 9 e AC = 12

RESOLUÇÃO

Os vetores são:

OA = xi + yj

OB = bi + bj

OC = 1i + 6j

Pelo ponto médio de BC podemos encontrar uma equação que possua "a" e "b". Assim,

1 = (1 + a)/2

-3/2 = (6 + b)/2

Desse modo temos a = 1 e b = -9. Portanto B = (1, -9)

CALCULO DE A(x, y)

Podemos relacionar os valores das distâncias entre os ponto A e B e A e C, de modo que possamos encontrar as coordenadas de A. Então temos:

|B - A| = 9

|C - A| = 12

Assim,

A = (x, y)

B = (1, 9)

C = (1, 6)

(1 - x)² + (-9 - y)² = 81

(1 - x)² + (6 - y)² = 144

1 - 2x + x² + 81 + 18y + y² = 81

1 - 2x + x² + 36 - 12y + y² = 144

1 - 2x + x² + 18y + y² = 0

1 - 2x + x² - 12y + y² = 108

Se subtrairmos a segunda equação da primeira equação:

30y = -108

y = -18/5

Assim,

1 - 2x + x² + 18y + y² = 0

1 - 2x + x² - (324/5) + (324/25) = 0

25 - 50x + 25x² - 1620 + 324 = 0

25x² - 50x - 1271 = 0

Δ = 2500 - 127100 = 129600

Assim,

x = (50 ± 360)/50

Como nos interessa x tal que x é negativo, então,

x = (50 - 360)/50

x = -31/5

Portanto os pontos vértices do triângulo são:

A(-31/5, -18/5)

B(1, -9)

C(1, 6)

RESULTADO

A(-31/5, -18/5)

Explicação passo-a-passo: