Question

Qual a resolução da inequação:
logx + log(x-1) < log(5-6x) - log2

*todos na base 10

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Drmota, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte inequação logarítmica:

log₁₀ (x) + log₁₀ (x+1) < log₁₀ (5-6x) - log₁₀ (2)

ii) Primeiro vamos às condições de existência. Como só há logaritmos de números positivos (>0), então teremos que impor que cada logaritmando terá que ser maior do que zero (positivo). Assim, teremos que:

x > 0
x+1 > 0 ---> x > -1
5-6x > 0 ----> -6x > -5 ---> multiplicando-se por "-1": ---> 6x < 5 ---> x < 5/6 (note que quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era ">" passa pra "<" e vice-versa).

Agora veja: entre "x" ser maior do que "0" e maior do que "-1",então prevalece a hipótese de "x" ser maior do que zero, pois sendo maior do que zero já é maior do que "-1".
E como ainda temos a última hipótese, que é x < 5/6 , então as condições de existência estarão no seguinte intervalo:

0 < x < 5/6  ----- Esta é a condição de existência encontrada. A propósito, note que "5/6 = 0,83 (aproximadamente). Assim, conforme as condições de existência, poderíamos dizer que o intervalo seria: 0 < x < 0,83.

ii) Como já temos a condição de existência vista aí em cima, vamos, agora, resolver a inequação dada, que é esta:

log₁₀ (x) + log₁₀ (x+1) < log₁₀ (5-6x) - log₁₀ (2)

Veja: no primeiro membro transformaremos a soma em produto (é uma propriedade logarítmica); e, no segundo membro, transformaremos a subtração em divisão (também é uma propriedade logarítmica). Assim, ficaremos:

log₁₀ [(x)*(x+1)] < log₁₀ [(5-6x)/2] ----- desenvolvendo, ficamos:
log₁₀ (x²+x) < log₁₀ [(5-6x)/2]

Agora note isto: Como as bases são iguais, então já poderemos comparar os logaritmandos. E, considerando que a base é maior do que "1" (veja que a base é 10), então, na comparação dos logaritmandos o faremos com o mesmo sentido da desigualdade. Assim, fazendo a comparação dos logaritmandos, teremos que:

x² + x < (5-6x)/2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*(x²+x) < 5 - 6x --- efetuando o produto indicado, teremos:
2x² + 2x < 5 - 6x --- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
2x² + 2x - 5 + 6x < 0 --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
2x² + 8x - 5 < 0

iii) Agora encontraremos as raízes da inequação acima. E, para isso, a igualaremos a zero. Depois estudaremos a variação de sinais da inequação originalmente dada em função de suas raízes.
Então vamos encontrar as raízes, fazendo a inequação acima igual a zero:

2x² + 8x - 5 = 0 ---- aplicando Bháskara, teremos:

x = [-b ± √(Δ)[/2a ----- sendo Δ = b²-4ac. ----- Substituindo, teremos;
x = [-8 ± √((-8)²-4*2*(-5))]/2*2
x = [-8 ± √ (64+40)]/4
x = [-8 ± √(104)]/4 ---- note que 104 = 4*26. Assim:
x = [-8 ± √(4*26)]/4 --- note que 4 = 2². Logo:
x = [-8 ± √(2² * 26)]/4 --- como o "2" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

x = [-8 ± 2√(26)]/4 ----- simplificando-se numerador e denominador por "2", ficaremos com:

x = [-4 ± √(26)]/2 --- ou, o que é a mesma coisa;
x = [-4/2 ± √(26)/2] ---- como -4/2 = -2, ficaremos, finalmente, com:
x = -2 ± √(26)/2 --- ou seja, temos que as raízes são estas:

x' = -2 - √(26)/2  ---- o que dá "-4,55" aproximadamente.
x'' = -2 + √(26)/2 --- o que dá "0,55" aproximadamente.

iv) Agora vamos estudar a variação de sinais da inequação dada, em função de suas raízes:

2x² + 8x - 5 < 0...++++++++(-4,55) - - - - - - - - - - -  (0,55) + + + + + + + + + +

Note: como queremos que a inequação seja MENOR do que zero, então, em princípio, só valerá o que está com sinal de menos no gráfico acima, ou seja, pelo gráfico, teríamos que "x" estaria no seguinte intervalo: -4,55 < x < 0,55. Mas lembre-se que, pelas condições de existência tínhamos que o "x" teria que estar no seguinte intervalo: 0 < x < 5/6 ---- e 5/6 = 0,83 (aproximadamente). Então, pelas condições de existência, teríamos isto: 0 < x < 0,83.
Assim, vamos ver qual é a intersecção entre o que vale para a inequação e o que vale para as condições de existência.
Vamos marcar o que vale para cada uma das hipóteses com o símbolo ///////. E a intersecção marcaremos com o símbolo |||||||. Assim, faremos:

2x² + 8x - 5 < 0 ... __________ (-4,55) / / / / / / / / / / / / (0,55)_____________
Cond. existência ___________________(0) / / / / / / / / / / / / / / /  (0,83) ___
Intersecção ...... ____________________(0) | | | | | | | (0,55)____________

Assim, como você viu, a intersecção ficou entre "0" e "0,55", que é o valor aproximado de "-2 + √(26)/2". Nesse caso, o conjunto-solução para a inequação da sua questão será este:

0 < x < -2 + (26)/2  <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.